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 # Claire
-> - j'ai un truc qui bloque le levier de vitesse
+- j'ai un truc qui bloque le levier de vitesse
-> - ça s'appelle du maquillage !
+- ça s'appelle du maquillage !
-> - Ah, c'est pas toi qui est sous la douche !
+- Ah, c'est pas toi qui est sous la douche !
-> - ah bon ?
+- ah bon ?
 - je suis malade, j'ai du mal à ne plus l'être
@@ -15,7 +15,7 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini
 > [!proposition]+ Axiome d'extentionnalité
 > Deux choses contenant les mêmes éléments sont égales.
-> Autrement dit, si $\forall x,\quad x \in C_1 \iff x \in C_2$ alors $C_1 = C_2$
+> Autrement dit, $C_1 = C_2$ si et seulement si $\forall x,\quad x \in C_1 \iff x \in C_2$
 ^ax-extentionnalite
 > [!definition] Inclusion
@@ -25,5 +25,95 @@ Les classes sont caractérisées par $\in$, autrement dit une classe est défini
 > [!definition] Ensemble
 > Une classe $A$ est un **ensemble** s'il existe une classe $C$ telle que $A \in C$.
-> - i 
+> - i l'axiome d'extentionnalité s'applique également sur les ensembles
 ^def-ensemble
 > [!definition] Union et Intersection
 > Soient $C_1$ et $C_2$ deux classes
 > - $C_1 \cup C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ ou à $C_2$
 > - $C_1 \cap C_2$ est une classe dont les éléments sont les $X$ qui appartiennent à $C_1$ et à $C_2$
 > - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C_1 \cup C_2$ et $C_1 \cap C_2$ sont uniquement déterminés par ces définitions
 ^def-union-intersection
 > [!definition] Complémentaire
 > Soit $C$ une classe
 > $C^{\complement}$ est la classe qui a pour éléments les $X$ tels que $X \notin C$
 > - i on sait par l'axiome d'extentionnalité que $C^{\complement}$ est uniquement déterminé par ces définitions
 >   
 ^def-complementaire 
 > [!proposition]+ Axiome d'intersection
 > Si $x$ est un ensemble, si $C$ est une classe, alors $x \cap C$ est un ensemble
 > - i Par conséquence, si une classe $C$ est contenue dans un ensemble $A$, alors $C$ est un ensemble aussi.
 >     - dem car $C \subseteq A$ entraine $C = C \cap A$
 ^ax-intersection
 > [!proposition]+ Axiome de la paire
 > Si $x$ et $y$ sont des ensemble, alors il existe un ensemble dont les seuls éléments sont $x$ et $y$.
 > - i par l'axiome d'extentionnalité, on sait qu'il n'existe qu'un seul tel ensemble, que l'on note $\{ x, y \}$
 > - i si $x = y$ on note simplement $\{ x \}$, c'est un **singleton**
 > 
 > > [!proposition]+ Construction des couples (Kuratowski)
 > > Si $x$ et $y$ sont des ensembles, on pose :
 > > $(x, y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$
 ^ax-paire
 > [!proposition]+ égalité sur les couples
 > Soient $x, y, x', y'$ des ensembles
 > $(x, y) = (x', y') \iff x=x' \wedge y=y'$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > - $\boxed{\implies}$ Supposons que $x=x'$ et $y=y'$, on a alors $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x \} = \{ x' \}$ par l'axiome d'extension.
 > >   Alors, à nouveau par extentionnalité, on a $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
 > > - $\boxed{\impliedby}$ Supposons réciproquement que $(x, y) = (x', y')$
 > >   On a alors : $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} = \{ \{ x' \}, \{ x', y' \} \}$
 > >   Il suit par extension que l'un des cas suivants est réalisé :
 > >   - soit $\{ x \} = \{ x' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x', y' \}$
 > >     dans ce cas, on a $x=x'$ par extension, et de là il est évident aussi que $y = y'$
 > >   - soit $\{ x \} = \{ x', y' \}$ et $\{ x, y \} = \{ x' \}$
 > >     dans ce cas on sait que l'on doit avoir $x=y$ et $x'=y'$, et on en déduit $\{ x \} = x'$ et $y=y'$
 > >   Les autres cas peuvent être éliminés par extentionnalité.
 > [!proposition]+ n-uplets
 > On peut construire les triplets, quadruplets etc. à partir des couples :
 > - $(x, y, z) = ((x, y), z)$
 > - $(x, y, z, w) = (((x, y), z), w)$
 > - $\vdots$ 
 > [!proposition]+ Axiome : graphe de la relation $\in$
 > Il existe une classe $E$ telle que pour tous les ensemble $x, y$ on a $(x, y) \in E$ si et seulement si $x \in y$.
 > $\boxed{(x, y) \in E \iff x \in y}$
 > $E$ est le **graphe** de la relation $\in$
 > [!proposition]+ Axiome : existence du domaine
 > Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{dom}(C)$ telle que pour tout ensemble $x$ on aie $x \in \operatorname{dom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $y$ tel que $(x, y) \in C$.
 > $\boxed{x \in \operatorname{dom}(C) \iff \exists y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
 > - i On dit que $\operatorname{dom}(C)$ est le **domaine** de $C$
 ^ax-domaine
 > [!proposition]+ Axiome : existence du codomaine
 > Si $C$ est une classe, il existe une classe notée $\operatorname{codom}(C)$ telle que pour tout ensemble $y$ on aie $y \in \operatorname{codom}(C)$ si et seulement s'il existe un ensemble $x$ tel que $(x, y) \in C$.
 > $\boxed{y \in \operatorname{codom}(C) \iff \exists x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C}$
 > - i On dit que $\operatorname{codom}(C)$ est le **codomaine** de $C$
 ^ax-codomaine
 > [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de domaine $C$
 > Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le domaine ($\operatorname{dom}(C') = C$), autrement dit :
 > il existe une classe $C'$ telle que $\forall y \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C' \iff x \in C$
 ^ax-de-domaine
 > [!proposition]+ Axiome : existence d'une classe de codomaine $C$
 > Si $C$ est une classe, il existe une classe $C'$ dont $C$ est le codomaine ($\operatorname{codom}(C') = C$), autrement dit :
 > il existe une classe $C'$ telle que $\forall x \text{ ensemble},\quad (x, y) \in C'$
 ^ax-de-codomaine
 > [!proposition]+ Axiome : permutation des triplets
 > Soit $C$ une classe, alors :
 > - il existe une classe $D$ telle que pour tous les ensembles $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D \iff (y, x, z) \in C$
 > - il existe une classe $D'$ telle que pour tout les ensemble $x, y, z$ on aie $(x, y, z) \in D' \iff (x, z, y) \in C$
 > - i ces classes ne sont pas uniquement déterminées par l'axiome d'extension, car leurs "définitions" prescrivent uniquement leurs couples ou trouples.
 > [!proposition]+ Axiome : classe vide
 > Il existe une et une seule classe qui n'a aucun élément.
 > ON dit que c'est la classe vide et on la note $\emptyset$