eduroam-prg-sg-1-45-234.net.univ-paris-diderot.fr 2025-9-23:15:10:53

filtre.md

@@ -30,6 +30,7 @@ aliases:
 # Exemples
 
 ## 1 - [[filtre de fréchet]]
+![[filtre de fréchet]]
 ## 2 - voisinages
 
 Soit $X$ un [[structure de topologie|espace topologique]] (par exemple $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ou bien un [[espace métrique]])
@@ -56,4 +57,7 @@ on définit le filtre $\mathscr{F}$ par :
 > [!example] Exemples
 >  - ensembles non vides totalement ordonnés
 >  - $\mathbb{N}$ muni de la divisibilité
->  - $\mathcal{P}_{f}(S)$ les partifinies d'un ensemble
+>  - $\mathcal{P}_{f}(S)$ les parties finies d'un ensemble $S$
+
+## Filtre principal $\mathcal{P}_{x}$
+ - def $V \in \mathcal{P}_{x} \iff x \in V$

ultrafiltre.md

@@ -4,6 +4,7 @@ up:
 tags:
   - s/maths/logique
 aliases:
+  - ultrafiltre
 ---
 
 > [!definition] Définition
@@ -11,3 +12,30 @@ aliases:
 > Un **ultrafiltre** sur $X$ est un filtre [[filtre#^relation-d-ordre|maximal]] parmi les filtres non-[[filtre#^filtre-trivial|triviaux]]
 ^definition
 
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ 
+> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]] sur un ensemble $X$
+> On a :
+> $\mathscr{F}$ est un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] $\iff$ pour toute partie $A \subseteq X$, soit $A \in \mathscr{F}$, soit $X-A \in \mathscr{F}$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - $\boxed{\impliedby}$
+> >   Soit $\mathscr{F}'$ un filtre non-trivial contenant $\mathscr{F}$
+> >   Démontrons que $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
+> >     - $\mathscr{F}' \subseteq \mathscr{F}$ ?
+> >       Soit $A \in \mathscr{F}'$, prouvons $A \in \mathscr{F}$
+> >       Sinon, $A \notin \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}'$
+> >       donc $\emptyset = A \cap (X - A) \in \mathscr{F}'$ ce qui contredit que $\mathscr{F}'$ soit non-trivial
+> > - $\boxed{\implies}$
+> >   Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] sur $X$
+> >   Soit $A \subseteq X$, prenons $A \in \mathscr{F}$ ou $X - A \in \mathscr{F}$
+> >   supposons $X - A \notin \mathscr{F}$ et démontrons $A \in \mathscr{F}$
+> >   Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties $B$ de $X$ telles qu'il existe $C \in \mathscr{F}$ tq $B \supseteq A \cap C$ $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial contenant $\mathscr{F}$  (on démontrera son existence ensuite)
+> >   Alors $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
+> >   $A \in \mathscr{F}'$ car $A \supseteq A \cap X$ avec $X \in \mathscr{F}$
+> >   
+> >   
+
+> [!proposition]+ Tout filtre non trivial est contenu dans un ultrafiltre
+>