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suite finies d'entiers.md

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 > [!proposition]+ Représentation des suites comme nombres
 > On peut trouver une [[bijection]] entre $\mathbb{N}$ et l'ensemble des suites finies à $p$ éléments.
-> De plus, cette bijection est [[fonction récursive primitive|récursive primitive]].
-> > [!démonstration]+ Démonstration
-> > On procède en définissant l'application de $\mathscr{S} \to \mathbb{N}$ suivante :
-> > $\Omega((x_0, x_1, \dots, x_{p})) = \pi(0)^{x_0} \cdot \pi(1)^{x_1} \cdot\cdots \cdot \pi(p)^{x_{p}}$ (voir [[fonction pi|fonction π]])
-> > On sait par l'arithmétique ([[décomposition en facteurs premiers]]) que cette fonction est bien une bijection.
-> > Par ailleurs, comme [[fonction pi#^recursive-primitive|la fonction π est récursive primitive]], on sait que $\Omega$ est récursive primitive aussi
-> > Montrons maintenant que la réciproque de $\Omega$ est également récursive primitive :
-> > définissons la fonction $\delta \in \mathscr{F}_{2}$ :
-> > $\delta(i, x) := \mu z \leq x \quad (x \text{ n'est pas divisible par } \pi(i)^{z+1})$
-> > On sait que [[divisibilité#^recursive-primitive|le prédicat de divisibilité est récursif primitif]], ce qui montre que $\delta$ est récursive primitive.
-> > Maintenant, la fonction $\lambda x. (\delta(1, x), \delta(2, x), \dots, \delta(p, x))$ est bien la réciproque de $\Omega$
-> > une ligne super long avec plein de text super long qui va dépasser jusqu'à la fin de la ligne pour pouvoir tester si le symbole bave et 
+> De plus, cette bijection peut être [[fonction récursive primitive|récursive primitive]].
 
 # Exemples