mbp-oskar.lan 2025-5-29:21:27:46

anneau commutatif.md

@@ -1,10 +1,12 @@
-up::[[anneau]]
-title::"$(A, +, \times)$ où", " - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]", " - $(A, \times)$ est un [[monoïde]] [[commutativité|commutatif]]", " - $\times$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$"
-#s/maths/algèbre 
-
 ---
-Un _anneau commutatif_ est un [[anneau]] pour lequel la loi $\times$ est [[commutativité|commutative]]
+up: "[[anneau]]"
+tags: "#s/maths/algèbre"
+---
 
+> [!definition] Définition - à partir d'un anneau
+> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
+> On dit que $(A, +, \times)$ est un **anneau commutatif** si $\times$ la loi produit est [[commutativité|commutative]]
+^definition
 
 > [!définition]
 > Un ensemble $A$ muni des lois $+$ et $\times$ est un _anneau commutatif_ ssi :
@@ -16,15 +18,15 @@ Un _anneau commutatif_ est un [[anneau]] pour lequel la loi $\times$ est [[commu
 >      - $\times$ est [[associativité|associative]] et [[commutativité|commutative]]
 >      - il y a un [[élément neutre]] pour $\times$
 >  - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
-
-
-> [!definition] Définition - à partir d'un anneau
-> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
-> On dit que $(A, +, \times)$ est un **anneau commutatif** si la loi $\times$ est [[commutativité|commutative]]
-^definition
-
 # Propriétés
 
+> [!proposition]+ Propriétés de base
+> Soit $a \in A$
+> - $a \times 0 = 0 \times a = 0$
+>     - dem $a \times 0 = a \times (0 + 0) = (a\times 0) + (a\times 0)$ d'où suit que $0 = a \times 0$. Il suit par commutativité que $0 \times a = 0$
+> - 
+
+
 > [!proposition]+ 
 > Soit $A$ un anneau commutatif
 > Soit $I \neq A$ un [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$

anneau unifère.md

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+---
+aliases: 
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+up:
+  - "[[anneau]]"
+---
+> [!definition] Définition
+> Soit $A$ un [[anneau]].
+> On dit que $A$ est **unifère** s'il admet un [[élément neutre]] non nul pour le produit.
+> Autrement dit, si :
+> $\exists e \in A^{*},\quad \forall a \in A,\quad ae = ea =a$ avec $A^{*} = A\setminus \{ 0_{A} \}$
+> - i Cet élément est généralement noté $e$, $1$ ou $I$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Tout anneau unifère contient au moins deux éléments
+> Soit $A$ un anneau unifère.
+> On sait que $A$ contient au moins deux éléments distincts :
+>  - $0$ l'élément neutre de l'addition
+>  - $1$ l'élément neutre du produit
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Comme $A$ est un anneau, on sait qu'il doit contenir un élément neutre pour l'addition, d'où il suit que $0 \in A$.
+> > Comme $A$ est unifère, on sait qu'il contient un élément neutre pour le produit, et que cet élément est non nul, d'où il suit que $1 \in A$ et que $1 \neq 0$.
+> > Ainsi, on a bien montré que $\{ 0, 1 \} \subset A$
+
+