mbp-oskar.lan 2025-5-29:21:27:46

anneau unifère.md

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+aliases: 
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+up:
+  - "[[anneau]]"
+---
+> [!definition] Définition
+> Soit $A$ un [[anneau]].
+> On dit que $A$ est **unifère** s'il admet un [[élément neutre]] non nul pour le produit.
+> Autrement dit, si :
+> $\exists e \in A^{*},\quad \forall a \in A,\quad ae = ea =a$ avec $A^{*} = A\setminus \{ 0_{A} \}$
+> - i Cet élément est généralement noté $e$, $1$ ou $I$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Tout anneau unifère contient au moins deux éléments
+> Soit $A$ un anneau unifère.
+> On sait que $A$ contient au moins deux éléments distincts :
+>  - $0$ l'élément neutre de l'addition
+>  - $1$ l'élément neutre du produit
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Comme $A$ est un anneau, on sait qu'il doit contenir un élément neutre pour l'addition, d'où il suit que $0 \in A$.
+> > Comme $A$ est unifère, on sait qu'il contient un élément neutre pour le produit, et que cet élément est non nul, d'où il suit que $1 \in A$ et que $1 \neq 0$.
+> > Ainsi, on a bien montré que $\{ 0, 1 \} \subset A$
+
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