eduroam-prg-sg-1-46-135.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-1:14:22:29

compacité d'un espace topologique.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+---
+up:
+  - "[[structure de topologie|espace topologique]]"
+tags:
+  - s/maths/topologie
+aliases:
+---
+
+> [!definition] Définition
+> Un [[structure de topologie|espace topologique]] $X$ est **compact** si il est [[espace séparé|séparé]] et respecte la [[propriété de Borel-Lebesgue]].
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+

convergence d'un filtre.md

@@ -15,4 +15,4 @@ aliases:
 # Propriétés
 
 > [!proposition]+ 
-> Si $\mathscr{F}$ est non trivial et 
+> Si un [[filtre]] $\mathscr{F}$ est non trivial et $X$ est [[espace séparé|séparé]]

espace métrique compact.md

@@ -7,6 +7,7 @@ up:: [[espace métrique]]
 
 > [!definition] [[espace métrique compact]]
 > Un [[espace métrique]] $(X, d)$ est **compact** si toute suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $X$ admet une [[suite extraite]] qui converge dans $X$.
+>  - i on peut remplacer l'existence d'une sous-suite convergente par la [[propriété de Borel-Lebesgue]] (ce qui permet de généraliser aux [[structure de topologie|espaces topologiques]])
 ^definition
 
 > [!definition] Autres définitions

espace séparé.md

@@ -1,8 +1,22 @@
 ---
-alias: [ "séparation", "espace de Hausdorff" ]
+alias:
+  - séparation
+  - espace de Hausdorff
+up: "[[espace]]"
+tags:
+  - s/maths/topologie
+aliases:
+  - séparé
 ---
-up::[[espace]]
-title::"deux points distincts admettent toujours des voisinages disjoints"
-#s/maths/algèbre
 
-----
+
+> [!definition] Définition
+> $X$ est **séparé** 
+^definition
+
+> [!idea] Intuition
+> Deux points distincts admettent toujours des [[voisinages]] disjoints.
+ 
+# Propriétés
+
+# Exemples

propriété de Borel-Lebesgue.md

@@ -5,10 +5,17 @@ tags:
 aliases:
 ---
 
-> [!proposition]+ [[propriété de Borel-Lebesgue]] (BL)
+> [!proposition]+ (BL) [[propriété de Borel-Lebesgue]]
 > On dit que $X$ respecte la propriété de Borel-Lebesgue si :
 > $X$ est réunion d'une famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties ouvertes de $X$ il existe une partie finie $J \subseteq I$ telle que $\displaystyle X = \bigcup _{i \in J} A _{i}$
+^BL
 
-> [!proposition]+ Sur les espaces métriques
+> [!proposition]+ (BL') [[propriété de Borel-Lebesgue]] sur le complémentaire
+> Si $(B_{i})_{i \in I}$ est une famille de parties fermée de $X$ telle que $\displaystyle\bigcap _{ i \in I} B_{i} = \emptyset$ alors il existe une partie finie $J \subseteq I$ telle que $\displaystyle \bigcap _{i \in J} B_{i} = \emptyset$
+^BL-compl
+
+> [!proposition]+ (BW) Sur les espaces métriques
 > Si $X$ est un espace métrique, on peut démontrer que la [[propriété de Borel-Lebesgue]] équivaut à :
 > (BW) Toute suite possède une sous-suite convergente.
+^BW
+

structure de topologie.md

@@ -2,6 +2,7 @@
 aliases:
   - topologie
   - espace topologique
+  - espaces topologiques
 up:
   - "[[structure algébrique]]"
 tags:

ultrafiltre.md

@@ -40,4 +40,9 @@ aliases:
 > [!proposition]+ Tout filtre non trivial est contenu dans un ultrafiltre
 > 
 
+> [!proposition]+ 
+> Soit $X$ un [[structure de topologie|espace topologique]]
+> Soit (BL) la [[propriété de Borel-Lebesgue]], on a :
+> (BL) $\iff$ tout [[ultrafiltre]] sur $X$ converge
+>