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eduroam-prg-sg-1-46-135.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-1:14:22:29

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propriété de Borel-Lebesgue.md
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@@ -5,10 +5,17 @@ tags:
aliases:
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> [!proposition]+ [[propriété de Borel-Lebesgue]] (BL)
> [!proposition]+ (BL) [[propriété de Borel-Lebesgue]]
> On dit que $X$ respecte la propriété de Borel-Lebesgue si :
> $X$ est réunion d'une famille $(A_{i})_{i \in I}$ de parties ouvertes de $X$ il existe une partie finie $J \subseteq I$ telle que $\displaystyle X = \bigcup _{i \in J} A _{i}$
^BL
> [!proposition]+ Sur les espaces métriques
> [!proposition]+ (BL') [[propriété de Borel-Lebesgue]] sur le complémentaire
> Si $(B_{i})_{i \in I}$ est une famille de parties fermée de $X$ telle que $\displaystyle\bigcap _{ i \in I} B_{i} = \emptyset$ alors il existe une partie finie $J \subseteq I$ telle que $\displaystyle \bigcap _{i \in J} B_{i} = \emptyset$
^BL-compl
> [!proposition]+ (BW) Sur les espaces métriques
> Si $X$ est un espace métrique, on peut démontrer que la [[propriété de Borel-Lebesgue]] équivaut à :
> (BW) Toute suite possède une sous-suite convergente.
> (BW) Toute suite possède une sous-suite convergente.
^BW