MacBookPro.lan 2026-6-14:22:21:6

.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json

@@ -286,7 +286,7 @@
           "prevs"
         ],
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "filtre.md",
+        "lock_path": "suite convergente.md",
         "custom_sort_fields": false,
         "custom_sort_field_labels": []
       },
@@ -295,7 +295,7 @@
         "show_attributes": [],
         "merge_fields": false,
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "filtre.md",
+        "lock_path": "suite convergente.md",
         "field_group_labels": [
           "ups",
           "downs"

filtre convergent.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+---
+up:
+  - "[[filtre]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+aliases:
+  - convergence d'un filtre
+---
+
+> [!definition] [[filtre convergent]]
+> Soit $(X, \mathcal{T})$ un [[espace topologique]]
+> On note $\mathcal{V}_{x}$ l'ensemble des [[voisinage|voisinages]] de $x$ dans cet espace (On montre aisément que $\mathcal{V}_{x}$ est un [[filtre]])
+> Soit $\mathcal{F}$ un [[filtre]] sur $X$
+> On dit que $\mathcal{F}$ **converge** vers $x \in X$ si et seulement si $\mathcal{F}$ [[finesse d'un filtre|raffine]] $\mathcal{V}_{x}$
+> (Autrement dit ssi $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{V}_{x}$)
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+

filtre de fréchet.md

@@ -10,7 +10,7 @@ aliases:
 > Soit $X$ un ensemble infini.
 > On définit $\mathscr{F}$ le [[filtre]] de Fréchet par : 
 > $A \in \mathscr{F}$ si $X - A$ est fini
-> - i on pourra le noter $\mathscr{F}_{\mathrm{cof}}$
+> - i on pourra le noter $\mathscr{F}_{\mathrm{cof}}(X)$
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration que c'est bien un filtre
 > > 1. $X - X = \emptyset$ est bien fini

filtre engendré.md

@@ -8,10 +8,10 @@ aliases:
 
 > [!definition] [[filtre engendré]]
 > Soit $\mathcal{B}$ une [[base de filtre]] sur $X$
-> Le **filtre engendré** par $\mathcal{B}$ est le [[filtre]] $\mathscr{F}_{\mathcal{B}}$ défini par :
-> $\boxed{\mathscr{F}_{\mathcal{B}} = \{ F \in \mathcal{P}(X) \mid \exists B \in \mathcal{B},\quad B \subseteq F \}}$
+> Le **filtre engendré** par $\mathcal{B}$ est le [[filtre]] $\mathcal{F}_{\mathcal{B}}$ défini par :
+> $\boxed{\mathcal{F}_{\mathcal{B}} = \{ F \in \mathcal{P}(X) \mid \exists B \in \mathcal{B},\quad B \subseteq F \}}$
 > 
-> > [!démonstration]- Démonstration : $\mathscr{F}_{\mathcal{B}}$ est bien un filtre
+> > [!démonstration]- Démonstration : $\mathcal{F}_{\mathcal{B}}$ est bien un filtre
 > > 
 ^definition
 

filtre image.md

@@ -0,0 +1,22 @@
+---
+up:
+  - "[[filtre]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+aliases:
+---
+
+- I le filtre des images des éléments d'un filtre.
+
+> [!definition] [[filtre image]]
+> Soit $\mathcal{F}$ un [[filtre]] sur $X$
+> Soit $f: X \to Y$ une [[application]]
+> Le **filtre image** de $\mathcal{F}$ par $f$ est le filtre :
+> $f_{*}\mathcal{F} = \{ G \subseteq Y \mid f^{-1}(G) \in \mathcal{F} \}$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+
+

finesse d'un filtre.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+---
+up:
+  - "[[filtre]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+aliases:
+  - rafinnement d'un filtre
+  - raffine
+---
+
+
+> [!definition] [[finesse d'un filtre]]
+> Soient $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ deux filtres sur $X$
+> On dit que $\mathcal{F}$ est **plus fin** que $\mathcal{G}$ (ou encore que $\mathcal{F}$ est un *raffinement* $\mathcal{G}$) si 
+> $\mathcal{F} \subseteq G$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+

ultrafiltre.md

@@ -15,25 +15,25 @@ aliases:
 # Propriétés
 
 > [!proposition]+ 
-> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]] sur un ensemble $X$
+> Soit $\mathcal{F}$ un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]] sur un ensemble $X$
 > On a :
-> $\mathscr{F}$ est un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] $\iff$ pour toute partie $A \subseteq X$, soit $A \in \mathscr{F}$, soit $X-A \in \mathscr{F}$
+> $\mathcal{F}$ est un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] $\iff$ pour toute partie $A \subseteq X$, soit $A \in \mathcal{F}$, soit $X-A \in \mathcal{F}$
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > - $\boxed{\impliedby}$
-> >   Soit $\mathscr{F}'$ un filtre non-trivial contenant $\mathscr{F}$
-> >   Démontrons que $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
-> >     - $\mathscr{F}' \subseteq \mathscr{F}$ ?
-> >       Soit $A \in \mathscr{F}'$, prouvons $A \in \mathscr{F}$
-> >       Sinon, $A \notin \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}'$
-> >       donc $\emptyset = A \cap (X - A) \in \mathscr{F}'$ ce qui contredit que $\mathscr{F}'$ soit non-trivial
+> >   Soit $\mathcal{F}'$ un filtre non-trivial contenant $\mathcal{F}$
+> >   Démontrons que $\mathcal{F}' = \mathcal{F}$
+> >     - $\mathcal{F}' \subseteq \mathcal{F}$ ?
+> >       Soit $A \in \mathcal{F}'$, prouvons $A \in \mathcal{F}$
+> >       Sinon, $A \notin \mathcal{F}$, donc $X - A \in \mathcal{F}$, donc $X - A \in \mathcal{F}'$
+> >       donc $\emptyset = A \cap (X - A) \in \mathcal{F}'$ ce qui contredit que $\mathcal{F}'$ soit non-trivial
 > > - $\boxed{\implies}$
-> >   Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] sur $X$
-> >   Soit $A \subseteq X$, prenons $A \in \mathscr{F}$ ou $X - A \in \mathscr{F}$
-> >   supposons $X - A \notin \mathscr{F}$ et démontrons $A \in \mathscr{F}$
-> >   Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties $B$ de $X$ telles qu'il existe $C \in \mathscr{F}$ tq $B \supseteq A \cap C$ $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial contenant $\mathscr{F}$  (on démontrera son existence ensuite)
-> >   Alors $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$
-> >   $A \in \mathscr{F}'$ car $A \supseteq A \cap X$ avec $X \in \mathscr{F}$
+> >   Soit $\mathcal{F}$ un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] sur $X$
+> >   Soit $A \subseteq X$, prenons $A \in \mathcal{F}$ ou $X - A \in \mathcal{F}$
+> >   supposons $X - A \notin \mathcal{F}$ et démontrons $A \in \mathcal{F}$
+> >   Soit $\mathcal{F}'$ l'ensemble des parties $B$ de $X$ telles qu'il existe $C \in \mathcal{F}$ tq $B \supseteq A \cap C$ $\mathcal{F}'$ est un filtre non trivial contenant $\mathcal{F}$  (on démontrera son existence ensuite)
+> >   Alors $\mathcal{F}' = \mathcal{F}$
+> >   $A \in \mathcal{F}'$ car $A \supseteq A \cap X$ avec $X \in \mathcal{F}$
 > >   
 > >