From 633002d3ffd9d161706f506cc0a6da9fd147fc55 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: oskar Date: Sun, 14 Jun 2026 22:21:06 +0200 Subject: [PATCH] MacBookPro.lan 2026-6-14:22:21:6 --- .obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json | 4 ++-- filtre convergent.md | 21 +++++++++++++++++++ filtre de fréchet.md | 2 +- filtre engendré.md | 6 +++--- filtre image.md | 22 +++++++++++++++++++ finesse d'un filtre.md | 21 +++++++++++++++++++ ultrafiltre.md | 28 ++++++++++++------------- 7 files changed, 84 insertions(+), 20 deletions(-) create mode 100644 filtre convergent.md create mode 100644 filtre image.md create mode 100644 finesse d'un filtre.md diff --git a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json index a652938b..44a103fa 100644 --- a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json +++ b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json @@ -286,7 +286,7 @@ "prevs" ], "lock_view": false, - "lock_path": "filtre.md", + "lock_path": "suite convergente.md", "custom_sort_fields": false, "custom_sort_field_labels": [] }, @@ -295,7 +295,7 @@ "show_attributes": [], "merge_fields": false, "lock_view": false, - "lock_path": "filtre.md", + "lock_path": "suite convergente.md", "field_group_labels": [ "ups", "downs" diff --git a/filtre convergent.md b/filtre convergent.md new file mode 100644 index 00000000..16ef342d --- /dev/null +++ b/filtre convergent.md @@ -0,0 +1,21 @@ +--- +up: + - "[[filtre]]" +tags: + - s/maths/logique +aliases: + - convergence d'un filtre +--- + +> [!definition] [[filtre convergent]] +> Soit $(X, \mathcal{T})$ un [[espace topologique]] +> On note $\mathcal{V}_{x}$ l'ensemble des [[voisinage|voisinages]] de $x$ dans cet espace (On montre aisément que $\mathcal{V}_{x}$ est un [[filtre]]) +> Soit $\mathcal{F}$ un [[filtre]] sur $X$ +> On dit que $\mathcal{F}$ **converge** vers $x \in X$ si et seulement si $\mathcal{F}$ [[finesse d'un filtre|raffine]] $\mathcal{V}_{x}$ +> (Autrement dit ssi $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{V}_{x}$) +^definition + +# Propriétés + +# Exemples + diff --git a/filtre de fréchet.md b/filtre de fréchet.md index 92eae706..b0fb7702 100644 --- a/filtre de fréchet.md +++ b/filtre de fréchet.md @@ -10,7 +10,7 @@ aliases: > Soit $X$ un ensemble infini. > On définit $\mathscr{F}$ le [[filtre]] de Fréchet par : > $A \in \mathscr{F}$ si $X - A$ est fini -> - i on pourra le noter $\mathscr{F}_{\mathrm{cof}}$ +> - i on pourra le noter $\mathscr{F}_{\mathrm{cof}}(X)$ > > > [!démonstration]- Démonstration que c'est bien un filtre > > 1. $X - X = \emptyset$ est bien fini diff --git a/filtre engendré.md b/filtre engendré.md index 90236890..b79f127f 100644 --- a/filtre engendré.md +++ b/filtre engendré.md @@ -8,10 +8,10 @@ aliases: > [!definition] [[filtre engendré]] > Soit $\mathcal{B}$ une [[base de filtre]] sur $X$ -> Le **filtre engendré** par $\mathcal{B}$ est le [[filtre]] $\mathscr{F}_{\mathcal{B}}$ défini par : -> $\boxed{\mathscr{F}_{\mathcal{B}} = \{ F \in \mathcal{P}(X) \mid \exists B \in \mathcal{B},\quad B \subseteq F \}}$ +> Le **filtre engendré** par $\mathcal{B}$ est le [[filtre]] $\mathcal{F}_{\mathcal{B}}$ défini par : +> $\boxed{\mathcal{F}_{\mathcal{B}} = \{ F \in \mathcal{P}(X) \mid \exists B \in \mathcal{B},\quad B \subseteq F \}}$ > -> > [!démonstration]- Démonstration : $\mathscr{F}_{\mathcal{B}}$ est bien un filtre +> > [!démonstration]- Démonstration : $\mathcal{F}_{\mathcal{B}}$ est bien un filtre > > ^definition diff --git a/filtre image.md b/filtre image.md new file mode 100644 index 00000000..b844e99c --- /dev/null +++ b/filtre image.md @@ -0,0 +1,22 @@ +--- +up: + - "[[filtre]]" +tags: + - s/maths/logique +aliases: +--- + +- I le filtre des images des éléments d'un filtre. + +> [!definition] [[filtre image]] +> Soit $\mathcal{F}$ un [[filtre]] sur $X$ +> Soit $f: X \to Y$ une [[application]] +> Le **filtre image** de $\mathcal{F}$ par $f$ est le filtre : +> $f_{*}\mathcal{F} = \{ G \subseteq Y \mid f^{-1}(G) \in \mathcal{F} \}$ +^definition + +# Propriétés + +# Exemples + + diff --git a/finesse d'un filtre.md b/finesse d'un filtre.md new file mode 100644 index 00000000..3fc56d0a --- /dev/null +++ b/finesse d'un filtre.md @@ -0,0 +1,21 @@ +--- +up: + - "[[filtre]]" +tags: + - s/maths/logique +aliases: + - rafinnement d'un filtre + - raffine +--- + + +> [!definition] [[finesse d'un filtre]] +> Soient $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ deux filtres sur $X$ +> On dit que $\mathcal{F}$ est **plus fin** que $\mathcal{G}$ (ou encore que $\mathcal{F}$ est un *raffinement* $\mathcal{G}$) si +> $\mathcal{F} \subseteq G$ +^definition + +# Propriétés + +# Exemples + diff --git a/ultrafiltre.md b/ultrafiltre.md index 2f9c6e28..e419a501 100644 --- a/ultrafiltre.md +++ b/ultrafiltre.md @@ -15,25 +15,25 @@ aliases: # Propriétés > [!proposition]+ -> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]] sur un ensemble $X$ +> Soit $\mathcal{F}$ un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]] sur un ensemble $X$ > On a : -> $\mathscr{F}$ est un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] $\iff$ pour toute partie $A \subseteq X$, soit $A \in \mathscr{F}$, soit $X-A \in \mathscr{F}$ +> $\mathcal{F}$ est un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] $\iff$ pour toute partie $A \subseteq X$, soit $A \in \mathcal{F}$, soit $X-A \in \mathcal{F}$ > > > [!démonstration]- Démonstration > > - $\boxed{\impliedby}$ -> > Soit $\mathscr{F}'$ un filtre non-trivial contenant $\mathscr{F}$ -> > Démontrons que $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$ -> > - $\mathscr{F}' \subseteq \mathscr{F}$ ? -> > Soit $A \in \mathscr{F}'$, prouvons $A \in \mathscr{F}$ -> > Sinon, $A \notin \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}$, donc $X - A \in \mathscr{F}'$ -> > donc $\emptyset = A \cap (X - A) \in \mathscr{F}'$ ce qui contredit que $\mathscr{F}'$ soit non-trivial +> > Soit $\mathcal{F}'$ un filtre non-trivial contenant $\mathcal{F}$ +> > Démontrons que $\mathcal{F}' = \mathcal{F}$ +> > - $\mathcal{F}' \subseteq \mathcal{F}$ ? +> > Soit $A \in \mathcal{F}'$, prouvons $A \in \mathcal{F}$ +> > Sinon, $A \notin \mathcal{F}$, donc $X - A \in \mathcal{F}$, donc $X - A \in \mathcal{F}'$ +> > donc $\emptyset = A \cap (X - A) \in \mathcal{F}'$ ce qui contredit que $\mathcal{F}'$ soit non-trivial > > - $\boxed{\implies}$ -> > Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] sur $X$ -> > Soit $A \subseteq X$, prenons $A \in \mathscr{F}$ ou $X - A \in \mathscr{F}$ -> > supposons $X - A \notin \mathscr{F}$ et démontrons $A \in \mathscr{F}$ -> > Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties $B$ de $X$ telles qu'il existe $C \in \mathscr{F}$ tq $B \supseteq A \cap C$ $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial contenant $\mathscr{F}$ (on démontrera son existence ensuite) -> > Alors $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$ -> > $A \in \mathscr{F}'$ car $A \supseteq A \cap X$ avec $X \in \mathscr{F}$ +> > Soit $\mathcal{F}$ un [[ultrafiltre#^definition|ultrafiltre]] sur $X$ +> > Soit $A \subseteq X$, prenons $A \in \mathcal{F}$ ou $X - A \in \mathcal{F}$ +> > supposons $X - A \notin \mathcal{F}$ et démontrons $A \in \mathcal{F}$ +> > Soit $\mathcal{F}'$ l'ensemble des parties $B$ de $X$ telles qu'il existe $C \in \mathcal{F}$ tq $B \supseteq A \cap C$ $\mathcal{F}'$ est un filtre non trivial contenant $\mathcal{F}$ (on démontrera son existence ensuite) +> > Alors $\mathcal{F}' = \mathcal{F}$ +> > $A \in \mathcal{F}'$ car $A \supseteq A \cap X$ avec $X \in \mathcal{F}$ > > > >