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seconde inégalité triangulaire.md

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+up:: [[inégalité triangulaire]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] [[seconde inégalité triangulaire]]
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> Quels que soient $x_0, x, y \in X$ on a :
+> $\boxed{|d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)}$
+^definition
+
+> [!démonstration]- Démonstration
+> Par l'[[inégalité triangulaire]], on a $d(x_0, x) \leq d(x_0, y) + d(y, x)$
+> alors $d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y)$
+> et de même, $d(x_0, y) \leq d(x_0, x) + d(x, y)$
+> On obtient donc : $d(x_0, y) - d(x_0, x) \leq d(x, y)$
+> En multipliant par $-1$, on obtient $d(x_0, x) - d(x_0, y) \geq -d(x, y)$
+> D'où $-d(x, y) \leq d(x_0, x) - d(x_0, y) \leq d(x, y)$
+> Et donc, on a bien $|d(x_0, x) - d(x_0, y)| \leq d(x, y)$
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