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partie bornée.md

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+up:: [[espace métrique]], [[boule]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] partie bornée d'un espace métrique
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> Une partie $A \subset X$ est dite **bornée** s'il existe $x_0 \in X$ et $r > 0$ tels que $A \subset B(x_0, r)$
+> $\exists x_0 \in X, \quad \exists r >0, \quad A \subset B(x_0, r)$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!info] Proposition
+> Si $A$ est une partie bornée de $X$, alors $\mathrm{diam}(A) < \infty$
+> > [!démonstration] Démonstration
+> > Soient $x_0 \in X$ et $r > 0$ tels que $A \subset B(x_0, r)$
+> > Soient $x, y \in A$
+> > on a $x, y \in B(x_0, r)$, c'est-à-dire $d(x, x_0) < r$ et $d(y, x_0) < r$
+> > Par l'[[inégalité triangulaire]] :
+> > $\begin{align} d(x, y) &\leq d(x, x_0) + d(x_0, y)\\&\leq r +r\\ &\leq 2r \end{align}$
+> > En prenant le $\sup$
+> > $\mathrm{diam}(A) = \sup_{x, y \in A} d(x, y) \leq 2r$
+
+> [!info] Proposition
+> Soit $(X, d)$ [[espace métrique]]
+> soit $x_0 \in X$
+> - $\forall r_1, r_2 > 0, \quad r_1 < r_2 \implies B(x_0, r_1) \subset \overline{B}(x_0, r_1) \subset B(x_0, r_2)$
+> - Si $x_1, x_2 \in X$, si $r_1, r_2 > 0$ et si $r_2 \geq r_1 + d(x_1, x_2)$, alors $B(x_1, r_1) \subset B(x_2, r_2)$ et $\overline{B}(x_1, r_1) \subset \overline{B}(x_2, r_2)$
+- [ ] démontrer la prop. précédente #task   [startTime:: 07:00] ⏳ 2024-09-12
+>