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normes équivalentes.md

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+up:: [[norme]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] normes équivalentes
+> Si on a deux normes $\|\cdot \|_{A}$ et $\|\cdot \|_{B}$ sur un même $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]] $E$.
+> On dit que les deux normes sont **équivalentes** si il existe deux constances $\lambda > 0$ et $\mu > 0$ telles que :
+> $\forall x \in E, \quad \lambda \|x\|_{A} \leq \|x\|_{B} \leq \mu \|x\|_{A}$
+^definition
+
+> [!example] Exemples
+> - sur $\mathbb{R}^{n}$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ sont équivalentes (voir [[norme p]]) ([[démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn|démonstration]])
+> - sur $\mathcal{C}([0; 1], \mathbb{R})$, $\|\cdot \|_{1}$ et $\|\cdot \|_{\infty}$ ne sont pas équivalentes ([[démonstration de la non équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur l'espace des fonctions continues sur un segment|démonstration]])
+^example
+
+# Propriétés
+
+> [!info] relation d'équivalence
+> la relation "$\|\cdot \|_{A}$ est équivalente à $\|\cdot\|_{B}$" est une relation d'équivalence
+- [ ] #task démontrer que l'équivalence de normes est une relation d'équivalence   [startTime:: 06:15]
+
+> [!info] [[espace vectoriel]] finis
+> Sur un [[espace vectoriel]] fini, toutes les normes sont deux-à-deux équivalentes.