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matrices modulaires.md

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+aliases:
+  - matrice modulaire
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+up:: [[matrice]], [[groupe des classes modulo n]]
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] [[matrices modulaires]]
+> Soient $m, n \in \mathbb{N}_{\geq 2}$ 
+> On définit $\mathcal{M}_{n}(m)$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ (le [[groupe des classes modulo n]])
+> $(\mathcal{M}_{n}(m), +)$ et $(\mathcal{M}_{n}(m), \odot)$ sont des groupes (avec l'addition et le [[produit de hadamard]])
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!info] $\mathcal{M}_{n}(m)$ est un groupe pour la loi $+$
+> C'est simplement une "réorganisation" du groupe $\displaystyle(\mathbb{Z} /m\mathbb{Z})^{n^{2}}$
+> - de neutre $\begin{pmatrix} \overline{0}\end{pmatrix}$
+> - pour lequel l'inverse de $\begin{pmatrix}\overline{m}_{ij}\end{pmatrix}$ est $\begin{pmatrix} -\overline{m}_{ij}\end{pmatrix}$
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