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intersection de sous groupes.md

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 up::[[sous groupe]]
 #maths/algèbre 
 
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-L'intersection de deux [[sous groupe|sous groupes]] d'un même groupe est **toujours** aussi un [[groupe]]
+> [!proposition] Intersection de sous-groups
+> Soit $G$ un [[groupe]]
+> L'intersection d'une famille de [[sous-groupe|sous-groupes]] de $G$ est un [[sous-groupe]] de $G$
+> Autrement dit, soit $S$ un ensemble de [[sous-groupe|sous-groupes]] de $G$, alors $\displaystyle \bigcap _{H \in S}H$ est un [[sous-groupe]]A
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $\displaystyle K := \bigcap _{H \in S} H$
+> > - $\forall H \in S$, $H$ est un [[sous-groupe]] de $G$, donc $H \ni 1$. Donc $\boxed{1 \in K}$
+> > - Soit $k \in K$, si $H \in S$, alors $k \in H \subseteq G$, donc $k \in G$. On a donc $\boxed{K \subseteq G}$
+> > - Soient $k, k' \in K$
+> > $\forall H \in S, \quad k, k' \in H$, donc $\forall H \in S, \quad kk'^{-1} \in H$ et donc $kk'^{-1} \in K$
+
+- ! Une réunion de sous groupes n'est, en général, pas un sous-groupe (par exemple, $(\mathbb{Z} /2\mathbb{Z}) \cup(\mathbb{Z} / 3\mathbb{Z})$ n'est pas un groupe, car $2+3=5 \notin (\mathbb{Z} /2\mathbb{Z})\cup(\mathbb{Z}/ 3\mathbb{Z})$)
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