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groupe linéaire des matrices modulaires.md

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+up:: [[matrices modulaires|matrice modulaire]]
+sibling:: [[groupe linéaire des matrices inversibles]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] [[groupe linéaire des matrices modulaires]]
+> Soit $p$ un [[nombre premier]]
+> On définit
+> $GL_{n}(p) := \{ M \in \mathcal{M}_{n}(p) \mid \det M \neq \overline{0} \in \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \}$
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!info] $(GL_{n}(p), \times)$ est un [[groupe]] fini pour $p$ premier
+> Soit $p$ un [[nombre premier]]
+> Soit $(GL_{n}(p), \times)$ l'ensemble des matrices modulaires de taille $n$ sur $\mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ muni de la [[multiplication de matrices]]
+> alors $(GL_{n}(p), \times)$ est un groupe fini
+> [[démonstration l'ensemble des matrices modulaires est un groupe fini avec la multiplication de matrices|démonstration]]
+
+- [x] #task raccourci pour $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ ✅ 2024-09-18
+# Exemples
+- une matrice triangulaire avec des $\overline{1}$ sur la diagonales est dans $GL_{n}(\overline{1})$