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fonction bornée.md

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 up::[[fonction]]
 #maths/analyse
 
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-Une fonction est dite _bornée_ si il existe des bornes à cette fonction, cad. si il existe des valeurs qu'elle ne dépasse jamais.
+> [!definition] [[fonction bornée]]
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> Soit $f$ une fonction de $E \to X$
+> On dit que $f$ est bornée si les images de $f$ sont contenues dans une [[boule]], c'est-à-dire si :
+> $\boxed{\exists (x_0, r) \in X \times \mathbb{R}^{+}, \quad f(E) \subset B(x_0, r)}$
+> Ou, plus formellement : $\exists x_0 \in X, \quad \exists r \geq 0, \quad \forall x \in E, \quad f(x) \in B(x_0, r)$
+^definition
 
+> [!idea] Intuition
+> Une fonction est dite _bornée_ si il existe des bornes à cette fonction, cad. si il existe des valeurs qu'elle ne dépasse jamais.
 
-> [!definition] Fonction majorée
+> [!definition] Fonction majorée sur $\mathbb{R}$
 > Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
 > On dit que $f$ est _majorée_ sur $I$ ssi :
 > $\exists M\in f(I), \forall x\in I, f(x) \leq M$
 > Ici, $M$ est un **majorant** de $f$.
-^majorée
+^majoree
 
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-> [!definition] Fonction minorée
+> [!definition] Fonction minorée sur $\mathbb{R}$
 > Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
 > On dit que $f$ est _minorée_ sur $I$ ssi :
 > $\exists m\in f(I), \forall x\in I, f(x) \geq m$
 > Ici, $m$ est un _minorant_ de $f$
-^minorée
+^minoree