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démonstration l'inverse d'un élément d'un groupe est unique.md

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+---
+aliases:
+  - démonstration de l'unicité de l'inverse d'un élément d'un groupe
+---
+up:: [[groupe]]
+#maths/algèbre 
+
+Soit $(G, *)$ un [[groupe]]
+Soit $g \in G$
+Soient $h$ et $h'$ deux inverses de $g$
+On a :
+$$
+\begin{align}
+h &= h*e_{G} \\
+&= h* (g*h') & \text{car } h' \text{ est un inverse de } g\\
+&= (h*g)*h' & \text{par associativité} \\
+&= e_{G}*h' & \text{car } h \text{ est un inverse de } g \\
+&= h'
+\end{align}
+$$
+On a donc $h = h'$, et il ne peut donc pas y avoir deux inverses distincts d'un même élément de $G$.