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démonstration l'intersection de tribus sur E est une tribu sur E.md

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+up:: [[tribu]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] Proposition
+> L'intersection de [[tribu|tribus]] sur $E$ est une [[tribu]] sur $E$
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+# Démonstration
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+Soit $(\mathcal{A_{i}})_{i \in I}$ une suite de tribus sur $E$
+On pose $\displaystyle\mathcal{A} = \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$
+
+1. contient l'ensemble vide
+$\forall i \in I, \quad \emptyset \in \mathcal{A}_{i}$. Donc $\displaystyle\emptyset \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$. On a donc bien $\boxed{\emptyset \in \mathcal{A}}$
+2. stable par complément
+Soit $A \in \mathcal{A}$
+$\forall i \in I, \quad A \in \mathcal{A_{i}}$
+Or, comme tous les $\mathcal{A}_{i}$ sont des tribus :
+$\forall i \in I, \quad A^{C} \in \mathcal{A}_{i}$ donc $A^{C} \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})$
+3. stable par intersection
+même principe que le 2.
+
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