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démonstration l'image réciproque d'une tribu est une tribu.md

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+up:: [[tribu image réciproque]]
+#maths/algèbre 
+Soit $f: E \to F$ 
+Soit $\mathcal{B}$ une [[tribu]] sur $F$
+$f^{-1}(\mathcal{B}) = \{ f^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B} \}$
+
+Pourquoi $f^{-1}(\mathcal{B})$ est une tribu ?
+
+1. ensemble vide
+$\emptyset _{E} = f^{-1}(\emptyset _{F}) \in f^{-1}(\mathcal{B})$
+donc $\boxed{\emptyset \in f^{-1}(\mathcal{B})}$
+2. stable par complément
+Soit $A \in f^{-1}(\mathcal{B})$
+Il existe $B \in \mathcal{B}$ tel que $A = f^{-1}(B)$
+alors $A^{C} = f^{-1}(B)^{C} = f^{-1}(B^{C}) \in f^{-1}(\mathcal{B})$
+Donc, on a bien $\boxed{\forall A \in f^{-1}(\mathcal{B}), \quad A^{C} \in f^{-1}(\mathcal{B})}$
+3. stable par intersection
+Soit $(A_{i})_{i \in I}$ une suite d'éléments de $f^{-1}(\mathcal{B})$ 
+Il existe $(B_{i})_{i \in I}$ une suite d'éléments de $\mathcal{B}$ tels que $\forall i \in I, \quad A_{i} = f^{-1}(B_{i})$
+Alors, $\displaystyle \bigcap _{i \in I}(A _{i}) =$