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démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn.md

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+up:: [[normes équivalentes]], [[norme p]]
+#maths/algèbre 
+
+Soit $x \in \mathbb{R}^{n}$ quelconque
+
+$\displaystyle \|x\|_{\infty } = \max_{i = 1}^{n} |x_{i}| \leq |x_1|+\dots+|x_{n}|$
+donc $\|x\|_{\infty } \leq \|x\|_{1}$
+
+A l'inverse :
+$\|x\|_{1} = \underbrace{|x_1| + |x_2|+ \cdots + |x_{n}|}_{\substack{\text{tous les termes sont}\\ \leq \max\limits_{i=1}^{n}(|x_{i}|) = \|x\|_{\infty}}}$
+Donc, $\frac{1}{n}\|x\|_{1} \leq \|x\|_{\infty}$
+
+On a donc bien équivalence entre la [[norme p|norme 1]] et la [[norme infini]] sur $\mathbb{R}^{n}$