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démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n.md

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+up:: [[groupe des classes modulo n premières avec n]]
+#maths/algèbre 
+
+On veut montrer que $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times} = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k} u = \overline{1} \}$
+
+# Inclusion $\subseteq$
+
+Soit $\overline{k} \in (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times }$
+Par hypothèse, $\mathrm{pgcd}(k, n) = 1$
+donc, par le [[théorème de Bézout]], $\exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2}, \quad ku+nv = 1$
+
+En réduisant modulo $n$, on trouve $\overline{k}\overline{u} + \cancel{\overline{n}\overline{v}}=\overline{1}$
+Donc $\overline{k}\overline{u} = 1$
+
+# Inclusion $\supseteq$
+Soit $\overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}$ tel que $\exists \overline{u} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}\overline{u} = \overline{1}$
+Ainsi $\overline{k}\overline{u} = \overline{1}$, et donc :
+$$\begin{align}
+\overline{k}\overline{u} = \overline{1} & \iff \overline{ku} - \overline{1} = \overline{0} \\
+&\iff \overline{ku - 1} = \overline{0} \\
+&\iff ku - 1 \equiv 0 [n] \\
+&\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - 1 = nv  \\
+&\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - nv = 1  \\
+\end{align}
+$$
+Donc, par le [[théorème de Bézout]], $\mathrm{pgcd}(k, n) = 1$
+
+# Note
+Cette autre forme est utile pour montrer que $\left( (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right)$ est bien un groupe