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boule fermée.md

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+up:: [[boule]]
+sibling:: [[boule ouverte]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] boule fermée
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> On appelle **boule ouverte** de centre $x_0 \in X$ et de rayon $r \geq 0$  la partie $\overline{B}(x_0, r)$ de $X$ définie par :
+> $\overline{B}(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) \leq r \}$
+^definition
+
+> [!idea] autres notations pour les boules fermées
+> $\overline{B}(x_0, r)$, $\overline{B}_{r}(x_0)$, $\overline{B}_{x_0}(r)$
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition] Toute boule fermée est un [[partie fermée d'un espace métrique|fermé]] 
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> La [[boule fermée]] $\overline{B}(x_0, r)$ est un fermé de $X$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\overline{B}(x_0, n)$ qui converge vers $l \in X$
+> > On veut montrer que $l \in \overline{B}(x_0, r)$
+> > Pour cela, on utilise le fait que $d(x_0, x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty}d(x_0, l)$
+> > En effet, on a $\forall n  \in \mathbb{N}, \quad d(x_0, x_{n}) \leq r$ car $x_{n} \in \overline{B}(x_0, r)$
+> > Donc, en passant à la limite, on a :
+> > $\begin{cases} d(x_0, l) \leq r\\ l \in X \end{cases}$
+> > Donc, $l \in \overline{B}(x_0, r)$
+
+# Exemples
+- = Voir [[Exemples de boules]]
+
+> [!example] Exemple pour la [[distance euclidienne]]
+> ![[boule fermée 2024-09-09 10.26.02.excalidraw|300]]
+^example