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partie dense d'un espace métrique.md

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+up:: [[boule]]
+#s/maths/topologie 
+
+> [!definition] [[partie dense d'un espace métrique]]
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> Une partie $A \subset X$ est **dense dans $X$** si et seulement si :
+> $\overline{A} = X$
+^definition
+
+> [!definition] autre définition
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> Une partie $A \subset X$ est **dense dans $X$** si et seulement si :
+> $\boxed{\forall x \in X,\quad \forall \varepsilon>0,\quad B_{E}(x, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset}$
+> - I Aucun élément de $E$ n'a de voisinage qui ne touche pas $H$
+>   
+> > [!démonstration]- Démonstration de l'équivalence
+> > - Supposons $A$ dense, c'est-à-dire $\overline{A} = X$
+> > Quels que soient $p \in X$ et $\varepsilon > 0$
+> > Comme $\overline{A} = X$, on sait que $p$ est adhérent à $A$, et donc il existe une suite $(x_{n})\in A^{\mathbb{N}}$ d'éléments de $A$ qui converge vers $p$.
+> > Ainsi, pour $n$ assez grand, on a bien $x_{n} \in B(p, \varepsilon)$, ce qui donne bien $B(p, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset$
+> > 
+> > - Supposons maintenant que $\forall x \in X,\quad \forall \varepsilon > 0,\quad B(x, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset$
+> > Ainsi, on sait que l'on peut construire une suite $(x_{n})$ telle que $x_{n} \in B\left( x, \frac{1}{n} \right) \cap A$ (car cet ensemble n'est pas vide pour $n$ suffisament grand).
+> > Or, $\frac{1}{n} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ et $\frac{1}{n} >0$ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, ainsi $x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} x$
+> > Comme cela est vrai pour tout $x \in X$, on a montré que tout point de $X$ est la limite d'une suite d'éléments de $A$.
+> > De là il appert que $\overline{A} = X$
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+# Propriétés
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+# Exemples
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+> [!example] Dans $\mathbb{R}$
+> - $\mathbb{Q}$ est une partie dense de $\mathbb{R}$
+> - $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est une partie dense de $\mathbb{R}$
+>