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norme d'algèbre.md

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 up:: [[norme]], [[structure d'algèbre|algèbre]]
-#maths/algèbre 
+#s/maths/algèbre 
 
 > [!definition] norme d'algèbre
 > Une norme $\|\|$ sur une $\mathbb{R}$-[[structure d'algèbre|algèbre]] $E$ est dite **norme d'algèbre** si :
 > $\forall x, y \in E \quad \|x\cdot y\| \leq \|x\|\cdot \|y\|$
-^definition
+^definition
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+# Propriétés
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+# Exemples
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+> [!example] sur $\mathbb{R}^{n}$
+> On peut munir $\mathbb{R}^{n}$ d'une structure d'algèbre en définissant $\times$ :
+> $\forall x, y \in \mathbb{R}^{n},\quad x \times y = (x_1, x_2 , \dots ,x_{n}) \times (y_1, y_2, \dots, y_{n}) = (x_1y_1, x_2y_2, \dots, x_{n}y_{n})$
+> le produit dimension par dimension.
+> On peut alors vérifier que $\|\cdot\|_{\infty}$ la [[norme infini]] est une [[norme d'algèbre]] :
+> On a pour $1 \leq k \leq n$ :
+> $|x_{k}y_{k}| = |x_{k}| |y_{k}| \leq \|x_{k}\|_{\infty} \|y_{k}\|_{\infty}$ 
+> Ainsi, en prenant le maximum, on obtient : 
+> $\|x_{k}y_{k}\|_{\infty} \leq \|x_{k}\|_{\infty}\|y_{k}\|_{\infty}$
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