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intérieur d'un espace métrique.md

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 aliases:
   - intérieur
+up: "[[espace métrique]]"
+sibling: "[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]"
+tags: "#s/maths/topologie"
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-up:: [[espace métrique]]
-sibling:: [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
-#maths/topologie 
 
 > [!definition] [[intérieur d'un espace métrique]]
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$ une partie quelconque de $X$
@@ -12,6 +12,21 @@ sibling:: [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
 > On l'appelle **intérieur** de $A$
 ^definition
 
+> [!definition]+ Autre définition
+>$\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
+> - I l'ensemble des points de $A$ qui ont un voisinage dans $A$
+> 
+>  ![[intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw]]
+> > [!démonstration]- Démonstration de l'équivalence
+> > On procède par double inclusion.
+> > Si $x \in \mathring{A}$, comme $\mathring{A}$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset \mathring{A}$ et, comme $\mathring{A} \subset A$, on a donc $B(x, r) \subset A$
+> > D'où $\mathring{A} \subset \{  x \in A  \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
+> > Montrons l'inclusion inverse.
+> > Soit $x \in \{ \cdots \}$ on veut montrer que $x \in \mathring{A}$
+> > on a $x \in B(x, r) \subset A$
+> > en particulier, $B(x, r) \subset \mathring{A}$
+> > donc $x \in \mathring{A}$
+> > Ce qui montre $\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
 
 # Propriétés
 
@@ -23,21 +38,6 @@ sibling:: [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
 > > Donc $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
 > > On peut toujours trouver un $V$ ouvert tel que $V \subset A$, car $A$ est un tel ouvert
 
-> [!proposition]+ Autre définition
->$\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
-> 
->  ![[intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw]]
-> > [!démonstration]- Démonstration
-> > On possède par double inclusion.
-> > Si $x \in \mathring{A}$, comme $\mathring{A}$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset \mathring{A}$ et, comme $\mathring{A} \subset A$, on a donc $B(x, r) \subset A$
-> > D'où $\mathring{A} \subset \{  x \in A  \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
-> > Montrons l'inclusion inverse.
-> > Soit $x \in \{ \cdots \}$ on veut montrer que $x \in \mathring{A}$
-> > on a $x \in B(x, r) \subset A$
-> > en particulier, $B(x, r) \subset \mathring{A}$
-> > donc $x \in \mathring{A}$
-> > Ce qui montre $\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
-
 > [!proposition]+ Lien avec l'[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
 > Sur l'[[espace métrique]] $(X, d)$ :
 > - $\mathring{A} = \left( \overline{A^{\complement} }\right)^{\complement}$ autrement dit $\mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)$ 
@@ -60,8 +60,6 @@ sibling:: [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
 > [!proposition]+ Lien avec l'[[partie ouverte d'un espace métrique|ouverture]]
 > $A$ est ouvert $\iff$ $A = \mathring{A}$
 
-> [!proposition]+ Proposition
-> 
 
 # Exemples