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distances équivalentes.md

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+aliases: 
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+  - "[[distance]]"
+sibling:
+  - "[[normes équivalentes]]"
+tags:
+  - s/maths/topologie
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+> [!definition] Définition
+> Soient $(X, d_1)$ et $(X, d_2)$ deux [[espace métrique|espaces métriques]]
+> Les [[distance|distances]] $d_1$ et $d_2$ sont dites **équivalentes** si :
+> $\exists a, b >0,\quad \forall x, y \in X,\quad a\cdot d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq b\cdot d_1(x, y)$
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ équivalence des limites
+> Soient $(X, d_1)$ et $(X, d_2)$ deux [[espace métrique|espaces métriques]] tels que $d_1$ et $d_2$ soient équivalentes
+> $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_1) \iff \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_2)$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Comme $d_1$ et $d_2$ sont équivalentes, on sait qu'il existe $A, B>0$ tels que pour tout $x, y \in X$ on aie $A d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq B d_1(x, y)$
+> > Ainsi, si $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell$ dans $(X, d_1)$, alors on a $0 \leq d_2(x_{n}, \ell)  \leq B d_1(x_{n}, \ell)$.
+> > Or le terme de droite tend vers 0, donc, par encadrement, on a $\lim\limits_{ n \to \infty } d_2(x_{n}, \ell) = 0$ et donc $\lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = \ell$
+> > 
+> > Comme la relation d'équivalence des distances est [[relation symétrique|symétrique]], on sait qu'il suffit d'inverser le rôle de $d_1$ et $d_2$ dans la démonstration précédente pour obtenir l'implication inverse.
+> > 
+> > De là on sait que $\lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} =\ell \text{ dans } (X, d_1) \iff \lim\limits_{ n \to \infty } x_{n} = \ell \text{ dans } (X, d_2)$
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+# Exemples
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