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dérivées successives.md

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 sr-due: 2023-06-15
 sr-interval: 239
 sr-ease: 312
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-up::[[dérivation]]
-#maths/analyse 
-
+up: "[[dérivation]]"
+tags: "#s/maths/analyse"
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-On utilise la notation pour les [[dérivation|dérivées]] : 
- - $f^{(0)}=f$
- - $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$ cette dérivée existe
+> [!definition] Notation
+>  - $f^{(0)}=f$
+>  - $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$ si cette dérivée existe
 
 # Propriétés
 
-  - Si $f^{(n)}$ existe, alors toutes les dérivées d'ordre inférieur existent
-  - $\left(f^{(p)}\right)^{(q)} = f^{(p+q)}$
+  - prop Si $f^{(n)}$ existe, alors toutes les dérivées d'ordre inférieur existent
+  - prop $\left(f^{(p)}\right)^{(q)} = f^{(p+q)}$
 
-## Ordre
-Dans $f^{(n)}$, on appelle **ordre** de dérivation la valeur de $n$
+> [!proposition]+  Ordre
+>  Dans $f^{(n)}$, on appelle **ordre** de dérivation la valeur de $n$
+> 
+> - = $f^{(5)}$ est une dérivée d'**ordre 5**
 
-Exemple :
-$f^{(5)}$ est une dérivée d'**ordre 5**
+> [!proposition]+  Linéarité des dérivées successives
+> Soient $f, g \in \mathcal{D}^{n}$ des fonctions $n$ fois dérivables
+> Soit $k \in \mathbb{R}$ quelconque
+> On a $(k\cdot f +g) \in \mathcal{D}^{n}$ et l'égalité suivante :
+> $\boxed{(x\cdot f+g)^{(n)} = k\cdot f^{(n)} + g^{(n)}}$
+> Par ailleurs, si $g$ ne s'annule pas, on a :
+> $\frac{f}{g} \in \mathcal{D}^{n}$
 
-## Théorème
-Si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables avec $n\in\mathbb N^*$
- - $(f+g)$ est $n$ fois dérivable
- - $(f+g)^{(n)} = f^{(n)}+g^{(n)}$
- - $\forall k\in\mathbb R, k\times f\text{ est dérivable}$
- - $\forall k\in\mathbb R, (k\times f)^{(n)} = k\times f^{(n)}$
- - Si $g$ ne s'annule pas, $\frac{f}{g}$ est $n$ fois dérivable
- 
- 
-## Formule de Leibniz
-$\displaystyle(f\times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)} \right)$
+> [!proposition]+ Formule de Leibniz
+> 
+> $\displaystyle(f\times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)} \right)$
+> 
+> > [!example]- Exemple
+> > $h(x) = x^2 \times e^{3x}, \mathscr D_f = \mathbb R$
+> > On pose $f(x) = x^2$ et $g(x) = e^{3x}$
+> > - $f^{(0)}=x^2$
+> > - $f^{(1)}=2x$
+> > - $f^{(2)} = 2$
+> > - $f^{(n)}(x) = 0$ pour $n\geq 3$
+> > et
+> > - $g^{(0)} = e^{3x}$
+> > - $g^{(1)}=3e^{3x}$
+> > - $g^{(2)}=9e^{3x}$
+> > - $\vdots$
+> > - $g^{(n)}=3^n \cdot e^{3x}$
+> > 
+> > Donc:
+> > $$\begin{align}
+> > h^{(4)}(x) &= \sum_{k=0}^4 \left( \binom4k \cdot f^{(k)}(x) \cdot g^{(4-k)}(x) \right)\\[2ex]
+> > &= x^2 \cdot 81e^{3x} + 4 \cdot 2x \cdot 27e^{3x} + 6 \cdot 2 \cdot 9e^{3x} + 0\\[1ex]
+> > &= 27e^{3x}\left( 3x^2 + 8x + 4 \right)
+> > \end{align}$$
 
-### Exemple : $h(x) = x^2 \times e^{3x}, \mathscr D_f = \mathbb R$
-On pose $f(x) = x^2$ et $g(x) = e^{3x}$
-- $f^{(0)}=x^2$
-- $f^{(1)}=2x$
-- $f^{(2)} = 2$
-- $\vdots$
-- $f^{(n)}(x) = 0$ pour $n\geq 3$
 
-- $g^{(0)} = e^{3x}$
-- $g^{(1)}=3e^{3x}$
-- $g^{(2)}=9e^{3x}$
-- $\vdots$
-- $g^{(n)}=3^n \cdot e^{3x}$
-
-Donc:
-$$\begin{align}
-h^{(4)}(x) &= \sum_{k=0}^4 \left( \binom4k \cdot f^{(k)}(x) \cdot g^{(4-k)}(x) \right)\\[2ex]
-&= x^2 \cdot 81e^{3x} + 4 \cdot 2x \cdot 27e^{3x} + 6 \cdot 2 \cdot 9e^{3x} + 0\\[1ex]
-&= 27e^{3x}\left( 3x^2 + 8x + 4 \right)
-\end{align}$$