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2025-05-11 01:12:31 backup (1 changed)

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polynôme minimal.md
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polynôme minimal.md
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@ -11,8 +11,14 @@ tags:
> Soit $f \in \mathscr{L}(E)$ > Soit $f \in \mathscr{L}(E)$
> L'application : > L'application :
> $\begin{align} \varphi _{f} : K[X] &\to \mathscr{L}(E) \\ P &\mapsto P(f) \end{align}$ > $\begin{align} \varphi _{f} : K[X] &\to \mathscr{L}(E) \\ P &\mapsto P(f) \end{align}$
> est un [[morphisme]] d'algèbres, c'est-à-dire à la fois un [[mor an]] > est un [[morphisme]] d'algèbres, c'est-à-dire à la fois un [[morphisme d'anneaux]] et [[endomorphisme d'espaces vectoriels|de K-ev]]
> Comme $K[X]$ est de dimension infinie en tant que $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|ev]] et que ce n'est pas le cas pour $\mathscr{L}(E)$, il en résulte que $\ker \varphi _{f}$ est un [[idéaux d'un anneau|idéal]] non réduit à $\{ 0 \}$ de $K[X]$.
> >
> Il existe alors un unique [[polynôme unitaire]] $\pi _{f}$ tel que $\ker \varphi _{f} = (\pi _{f})$
>
> $\pi _{f}$ est appelé **polynôme minimal** de $f$.
>
> De même, si $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$, le polynôme $\pi _{A}$, unique générateur du [[Noyau d'une application linéaire|noyau de l'application]] $P \mapsto P(A)$ est appelé **polynôme minimal** de $A$
^definition ^definition
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