From 4d7101d373f8fd12f8667aa1c44bc580646b5619 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: oskar Date: Sun, 11 May 2025 01:12:31 +0200 Subject: [PATCH] 2025-05-11 01:12:31 backup (1 changed) MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Affected files: polynôme minimal.md --- polynôme minimal.md | 8 +++++++- 1 file changed, 7 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/polynôme minimal.md b/polynôme minimal.md index 6aea4fd8..f8c4d2aa 100644 --- a/polynôme minimal.md +++ b/polynôme minimal.md @@ -11,8 +11,14 @@ tags: > Soit $f \in \mathscr{L}(E)$ > L'application : > $\begin{align} \varphi _{f} : K[X] &\to \mathscr{L}(E) \\ P &\mapsto P(f) \end{align}$ -> est un [[morphisme]] d'algèbres, c'est-à-dire à la fois un [[mor an]] +> est un [[morphisme]] d'algèbres, c'est-à-dire à la fois un [[morphisme d'anneaux]] et [[endomorphisme d'espaces vectoriels|de K-ev]] +> Comme $K[X]$ est de dimension infinie en tant que $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|ev]] et que ce n'est pas le cas pour $\mathscr{L}(E)$, il en résulte que $\ker \varphi _{f}$ est un [[idéaux d'un anneau|idéal]] non réduit à $\{ 0 \}$ de $K[X]$. > +> Il existe alors un unique [[polynôme unitaire]] $\pi _{f}$ tel que $\ker \varphi _{f} = (\pi _{f})$ +> +> $\pi _{f}$ est appelé **polynôme minimal** de $f$. +> +> De même, si $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$, le polynôme $\pi _{A}$, unique générateur du [[Noyau d'une application linéaire|noyau de l'application]] $P \mapsto P(A)$ est appelé **polynôme minimal** de $A$ ^definition # Propriétés