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Mathématiques pour non spécialistes – suite look-and-say.md

@@ -15,6 +15,18 @@ theme: white
 ---
 # Exemples
 
+--
+## Exemple 1
+
+ - $1$
+ - $11$ 
+ - $21$ 
+ - $1211$
+ - $111221$
+ - $312211$
+ - $13112221$
+ - $1113213211$
+
 --
 ## Exemple 1
 
@@ -22,7 +34,7 @@ theme: white
  + $11 \longrightarrow \text{deux }1$ 
  + $21 \longrightarrow \text{un }2,\quad \text{un }1$ 
  + $1211 \longrightarrow \text{un }1,\quad \text{un }2,\quad \text{deux }2$
- + $\underparen{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$
+ + $\underline{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1$
  + $312211$
  + $13112221$
  + $1113213211$
@@ -30,7 +42,7 @@ theme: white
 --
 ## Exemple 2
 
-$22 \longrightarrow \text{deux} 2$ <!-- element class="fragment" -->
+$22 \longrightarrow \text{deux } 2$ <!-- element class="fragment" -->
 
 $22$ <!-- element class="fragment" -->
 
@@ -38,6 +50,37 @@ $22$ <!-- element class="fragment" -->
 
 $\vdots$ <!-- element class="fragment" -->
 
+--
+## Exemple 3
+
+$49$
+
+$1419$
+
+$11141119$
+
+$31143119$
+
+$132114132119$
+
+$11131221141113122119$
+
+note: n'augmente pas toujours sa longueur, mais augmente tendanciellement
+
+--
+## Exemple 3
+
+$49$
+
+$1419$
+
+$11141119$
+
+$31143119$
+
+$132114132119$
+
+$11131221141113122119$
 
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 # Notations
@@ -197,7 +240,54 @@ Démonstration par disjonction des cas entre :
 2) Tous ces éléments engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
 3) Les descendants te toute chaîne autre que $[\;\;]$ et $[22]$ engendrent (après assez de jours) une chaîne contenant les 92 éléments simultanément
 
+---
+## Les éléments transuraniques
+
+Pour tout $n \geq 4$
+
+ + *Plutonium* (Pu) : $1221132221222112112322211n$
+     + (Li) pour $n=2$, (W) pour $n=3$
+ + *Neptunium* (Np) : $1311222113321132211221121332211n$
+     + (He) pour $n=2$, (Ta) pour $n=3$
+
+---
+## Théorème arithmétique
+
+> [!definition] Chaîne commune
+> On dit qu'une chaîne est **commune** si elle est un composé d'atomes communs.
+
+--
+## Théorème arithmétique
+
+
+1) Les longueurs de toutes les chaînes **communes** (sauf $[\;\;]$ et $[22]$) augmentent géométriquement avec une raison $\lambda > 1$
+2) Les abondances relatives des éléments dans ces chaînes tendent vers des valeurs fixes $>0$
+
+--
+## Théorème arithmétique 
+### Concept de la preuve
+
+ + $v_{i} \in \mathbb{N}^{92}$ compte les atomes de numéro $i$ dans une chaîne
+     - compter les atomes $\sim{}\!\!$ compter les chiffres (longueur des atomes $\leq 42$)
+ + à chaque dérivation, $v$ est multiplié par $M$
+     - $M_{i,j} = \# E_{j} \text{ dans le dérivé de } E_{i}$
+ + Th. chimique $\implies M_{i,j} > 0$ si $i \neq 1$
+ + $v_0M^{n} \sim \lambda^{n} \longrightarrow \lambda = \small\text{ plus grande valeur propre de } M$
+
+
+--
+## Théorème arithmétique
+### Constante de conway
+
+$v_0M^{n} \sim \lambda^{n}$
+$\lambda := \text{ plus grande valeur propre de } M$
+
+ + $\lambda = 1.30357726903\dots$
+ + polynôme de degré 71
+
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 ## Théorème cosmologique
 
-Toute chaîne finit par se "désintégrer" en un composé d'éléme
+Toute chaîne **commune** finit par se "désintégrer" en un composé d'éléments (communs et transuraniques) après un nombre borné d'étapes de dérivation.
+
+$\implies$ toute chaîne finit par augmenter (sa longueur) avec une raison $\lambda$