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filtre de fréchet.md

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 > [!definition] [[filtre de fréchet]]
 > Soit $X$ un ensemble infini.
-> On définit $\mathscr{F}$ le [[filtre]] de Fréchet par : 
-> $A \in \mathscr{F}$ si $X - A$ est fini
-> - i on pourra le noter $\mathscr{F}_{\mathrm{cof}}(X)$
-> 
+> On définit $\mathcal{F}$ le [[filtre]] de Fréchet par : 
+> $A \in \mathcal{F}$ si $X - A$ est fini
+> - i on pourra le noter $\mathcal{F}_{\mathrm{cof}}(X)$
+> $\mathcal{F}_{cof}(X) = \{ A \in \mathcal{P}(X) \mid X \setminus A \text{ est fini} \}$
 > > [!démonstration]- Démonstration que c'est bien un filtre
 > > 1. $X - X = \emptyset$ est bien fini
-> > 2. soient $A, B \in \mathscr{F}$ on a :
+> > 2. soient $A, B \in \mathcal{F}$ on a :
 > >    $X - (A \cap B) = (X-A) \cup (X-B)$ 
-> >    or la réunion de deux ensembles finis est finie d'où il suit que $A \cap B \in \mathscr{F}$
-> > 3. Soit $A \in \mathscr{F}$ avec $A \subseteq B$ 
-> >    $X - B \subseteq X - A$ or on sait que $X - A$ est fini, et qu'une partie d'un ensemble fini est finie, d'où on a que $X - B$ est fini et donc que $B \in \mathscr{F}$
+> >    or la réunion de deux ensembles finis est finie d'où il suit que $A \cap B \in \mathcal{F}$
+> > 3. Soit $A \in \mathcal{F}$ avec $A \subseteq B$ 
+> >    $X - B \subseteq X - A$ or on sait que $X - A$ est fini, et qu'une partie d'un ensemble fini est finie, d'où on a que $X - B$ est fini et donc que $B \in \mathcal{F}$
 ^definition