MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-3-22:17:9:57

fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -29,7 +29,7 @@ aliases:
 > > $\begin{cases} \xi _{n}(0) = 1\\ \xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \end{cases}$
 > > Cela établit clairement que chaque $\xi _{n}$ est bien définie, et donc que $\xi$ est unique.
 
-> [!corollaire]+ Lemme 1 : $\xi _{n}(x)>x$
+> [!proposition]+ Lemme 1 : $\xi _{n}(x)>x$
 > Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x) > x$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > On utilise deux récurrences emboîtées :
@@ -55,7 +55,7 @@ aliases:
 ^lemme 1
 ^lemme-1
 
-> [!corollaire] Lemme 2 – $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
+> [!proposition] Lemme 2 – $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
 > Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > On procède par récurrence sur $n$ :
@@ -66,7 +66,7 @@ aliases:
 > >    $\xi _{n+1}(x+1) = \underbrace{\xi _{n}(\xi _{n+1}(x)) > \xi _{n+1}(x)}_{\text{par le lemme 1}}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
 ^lemme-2
 
-> [!corollaire] Lemme 3 – $\xi_{n}(x) \geq \xi_{n-1}(x)$
+> [!proposition] Lemme 3 – $\xi_{n}(x) \geq \xi_{n-1}(x)$
 > Pour tout $n \geq 1$ et pour tout $x$ on a $\xi_{n}(x) \geq \xi_{n-1}(x)$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > On procède par récurrence sur $x$ :
@@ -87,7 +87,7 @@ aliases:
 >  - $\vdots$
 >  - $\xi _{n}^{k+1} = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}$
 
-> [!corollaire] Lemme 4 – propriétés trivialles
+> [!proposition] Lemme 4 – propriétés trivialles des $\xi _{n}^{k}$
 >  - Les fonctions $\xi _{n}^{k}$ sont strictement croissantes
 >      - dem évident puisque $\lambda x.x$ et les $\xi _{n}$ sont croissantes ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-2|Lemme 2]])
 > Pour tous $m, n, k, h, x \in \mathbb{N}$ on a :
@@ -110,10 +110,27 @@ aliases:
 >    >   Comme toutes ces fontions $\xi _{n} \dots \xi _{m}$ sont strictement croissantes, cela nous donne aussi que :
 >    >   $X \geq Y \implies \xi _{n}(X) \geq \xi _{n}(Y) \geq \xi _{m}(Y)$ 
 >    >   ce qui établit que $X \geq Y \implies \xi _{n}(X) \geq \xi _{m}(Y)$ 
->    >   Et, en particulier, comme on a supposé que $\xi _{n}^{k}(x) \geq \xi _{m}^{k}(x)$, on peut donc conclure que :
->    >   $\xi$
+>    >   Et, en particulier, comme on a supposé que $\xi _{n}^{k}(x) \geq \xi _{m}^{k}(x)$, on peut donc conclure que $\xi _{n}\circ \xi _{n}^{k}(x) \geq \xi _{m} \circ \xi _{m}^{k}(x)$, autrement dit :
+>    >   $\xi _{n}^{k+1}(x) \geq \xi _{m}^{k+1}(x)$
 >    >   
 
+## Domination
+
+> [!definition] fonction dominant une autre
+> Soient $f \in \mathscr{F}_{1}$ et $g \in \mathscr{F}_{p}$
+> On dit que **$f$ domine $g$** s'il existe un entier $A$ tel que pour tout $(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ on aie $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \leq f(\sup\limits(x_1, x_2, \dots, x_{p}, A))$.
+> en une ligne :
+> $\boxed{f \text{ domine } g \iff \exists A \in \mathbb{N},\quad \forall \overline{x} \in \mathbb{N}^{p},\quad g(\overline{x}) \leq f(\sup\limits(\overline{x}, A))}$
+
+> [!definition]+ $C_{n}$
+> On appellera $C_{n}$ l'ensemble des fonctions qui sont dominées par au moins une itérée de $\xi _{n}$ :
+> $\boxed{C_{n} = \{ g \mid \exists k \in \mathbb{N} ,\quad \xi _{n}^{k} \text{ domine } g \}}$
+
+> [!proposition]+ $C_{0}$ contient les fonctions élémentaires
+> Il est clair que les fonctions primitives appartiennent à $C_0$ :
+>  - 
+
+
 # Exemples