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fonction partielle récursive.md

@@ -6,12 +6,17 @@ tags:
   - s/informatique
 aliases:
   - fonctions récursives
+  - fonction récursive
 ---
 
-> [!definition] [[fonction récursive]]
-> On définitit l'ensemble les fonctions récursives en prennant la [[fonction récursive primitive#^definition-courte|définition des fonctions récursives primitives]] et en lui ajoutant un schéma de définition supplémentaire, le [[schéma mu|schéma µ non borné]].
+> [!definition] [[fonction partielle récursive]]
+> On définit l'ensemble des fonctions partielles récursive comme le plus petit sous-ensemble de $\mathscr{F}^{*}$ (voir [[fonction partielle#^notations|notations]]) qui :
+>  - contienne toutes les fonctions ([[fonction totale|totales]]) constantes, projections et la fonction successeur
+>  - soit clos pour la [[fonction partielle#^ré]]
 ^definition
 
+> [!idea] Intuition
+> On définitit l'ensemble les fonctions récursives en prennant la [[fonction récursive primitive#^definition-courte|définition des fonctions récursives primitives]] et en lui ajoutant un schéma de définition supplémentaire, le [[schéma mu|schéma µ non borné]].
 
 
 # Propriétés

fonction partielle.md

@@ -13,22 +13,24 @@ aliases:
 
  - une fonction partielle définie partout est une [[fonction totale]]
 
-> [!info] Notation
+> [!info] Notations
  > On notera :
  >  - $f$ pour désigner, le couple $(A, f)$
- >  - $\mathscr{F}^{*}_{p}$ l'ensemble des fonctions partielles de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$
+ >  - $\mathscr{F}^{*}_{p}$ l'ensemble des [[fonction partielle|fonctions partielles]] de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$
  >  - $\mathscr{F}^{*} = \bigcup _{p \geq 0} \mathscr{F}_{p}^{*}$
  > 
  >  - ! on réservera le mot "fonction" aux [[fonction totale|fonctions totales]]
 > 
+^notations
 
 # Définitions supplémentaires
 
-> [!definition] Composée
+> [!definition] Composition
 > Soient $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ et $g \in \mathscr{F}_{n}$ 
 > La **fonction composée** $h = g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ est l'élément de $\mathscr{F}^{*}_{p}$ défini comme suit :
 >  - $h(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas définie si l'une des $f_{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas défini ou si, toutes l'étant, $g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$ n'est pas définie
 >  - Dans le cas contraire, $h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) := g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$
+^composition
 
 > [!definition] Récurrence
 > Soient $g \in \mathscr{F}^{*}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}^{*}_{p+2}$
@@ -36,6 +38,9 @@ aliases:
 >  - $\forall (\overline{x}) \in \mathbb{N}^{p},\quad f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})$ (donc, $f(\overline{x}, 0)$ est définie si et seulement si $g(\overline{x})$ l'est, et lui est égale dans ce cas)
 >  - $\forall (\overline{x}, y) \in \mathbb{N}^{p+1},\quad f(\overline{x}, y+1) = h (\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)$ (même remarque que plus haut)
 >  - i on dira que $f$ est **définie par récurrence à partir de $g$ et $h$**
+^recurrence
+
+![[schéma mu]]
 
 # Propriétés
 

fonction récursive primitive.md

@@ -137,6 +137,7 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > > Notons $\operatorname{prec} = \lambda x.x \dot{-}1$. On a démontré dans le lemme précédent que cette fontion est récursive primitive.
 > > Maintenant, on peut définir $\operatorname{sub} = \lambda xy.x \dot{-} y$ comme :
 > > $\operatorname{sub} = \rho(P_1^{1}, \operatorname{prec}(P_3^{3}))$
+^soustraction-positive
 
 > [!proposition]- La fonction signe est récursive primitive
 > On définit la [[fonction signe]] par :

schéma mu.md

@@ -18,7 +18,7 @@ aliases:
 > ---
 > Pour les ensembles:
 > Si $A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}$, alors :
-> $\mu y((\overline{x}, y) \in A) = \mu y(1 \dot{-} \chi _{A}(\overline{x}, y) = 0)$
+> $\mu y((\overline{x}, y) \in A) = \mu y(1 \dot{-} \chi _{A}(\overline{x}, y) = 0)$ (voir [[fonction récursive primitive#^soustraction-positive|soustraction positive]])
 ^definition
 
 > [!definition] [[schéma mu]] – Définition courte
@@ -39,12 +39,14 @@ aliases:
 > ```
 ^definition-algorithme
 
+
 > [!idea] Intuition
 > L'idée est de préserver la propriété de posséder un algorithme de calcul.
 > Pour calculer $\mu y (f(\overline{x}, y)=0)$, on cherchera itérativement une valeur de $y$ en commençant par 0.
 > Le problème est que, si $f(\overline{x}, y)$ n'est pas définie pour l'une de ces valeurs, notre algorithme ne pourrait pas la calculer.
 > C'est pour cela que, si une des valeurs n'est pas dans le [[fonction partielle#^definition|domaine de définition]] de $f$, on considèrera que la recherche s'arrête ici.
 
+
 # Propriétés
 
 # Exemples