mbp-oskar.lan 2025-5-29:22:7:46

éléments inversibles.md

@@ -11,17 +11,26 @@ title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[éléme
 
 > [!definition] éléments inversibles
 > Soit $E$ in ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] $*$, et contenant un [[élément neutre|élément neutre]] $e$.
-> Un élément $a\in E$ est symétrisable ssi :
+> Un élément $a\in E$ est inversible ssi :
 > $\exists a'\in E, a*a' = a'*a = e$
+> On dit alors que $a'$ est le symétrique ou l'**inverse** de $a$
 ^definition
 
-# Notation
-Soit $a\in E$, on note généralement $a^{-1}$ le symétrique de $a$ par la loi $*$
+> [!definition] élément inversible à droite
+> Dans $(E, *)$ avec $e \in E$ élément neutre
+> Un élément $a \in E$ est dit **inversible à droite** quand :
+> $\exists i \in E,\quad ai = e$
+> On dit alors que $i$ est le symétrique à droite ou **inverse à droite** de $a$
 
-# Remarque
-- Si $a*a'=e$, $a'$ est le symétrique à droite de $a$
-- Si $a'*a=e$, $a'$ est le symétrique à gauche de $a$
+> [!definition] élément inversible à gauche
+> Dans $(E, *)$ avec $e \in E$ élément neutre
+> Un élément $a \in E$ est dit **inversible à gauche** quand :
+> $\exists i \in E,\quad ia = e$
+> On dit alors que $i$ est la symétrique à gauche ou **inverse à gauche** de $a$
 
+> [!info] Notation
+> Si la loi est notée additivement, le symétrique de $a$ sera noté $-a$
+> Si la loi est notée multiplicativement, le symétrique de $a$ sera noté $a^{-1}$
 
 # Propriété
 Si un élément $a\in E$ possède un symétrique $a'$, ce symétrique est unique.