Définition

Une permutation est une bijection d'un ensemble dans lui-même. Notamment, une permutation de n\in\mathbb N éléments est une bijection d'un ensemble fini de cardinal d'un ensemble n sur lui-même.

On parle généralement des permutations sur un intervalle [\![1;n]\!].

Notation

On note \mathfrak S_n l'ensemble des permutations sur [\![1;n]\!].

un élément \sigma\in\mathfrak S_n se note : \begin{pmatrix}1&2&\cdots&i&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(i)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}

exemple de permutations sur \mathfrak S_3 :
- - permutation identité :
    - id_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}
    - ici, id(1) = 1, id(2)=2, id(3)=3
- - autres permutations :
    - s_1: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}
    - s_2: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}
    - s_3: \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}
    - s_4: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}
    - s_5: \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}
    - s_6: \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}
Soient (\sigma, \phi)\in(\mathfrak S_n)^2, on note \sigma\circ \phi la composition de permutations \sigma et \phi, qui est l'application d'abord de $\phi$ puis de \sigma
- elle est équivalente à la composition des fonctions associées
\sigma^n la composée n fois de \sigma avec elle-même
- \sigma^0 = id
- \sigma^1 = \sigma
- \sigma^n = \sigma\circ\sigma^{n-1}
Permutation réciproque : \sigma^{-1}
- \forall n, \sigma(\sigma^{-1}(n)) = \sigma^{-1}(\sigma(n)) = n
- comme une généralisation de \sigma^n
- parce que cela correspond à la fonction réciproque (notée f^{-1} aussi)

Propriétés

[!query] Sous-notes de =this.file.link

LIST title
FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
WHERE file != this.file
SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up

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