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Diagonaliser permet de transformer une application linéaire en une composée P D P ^{-1} On trouve D la matrice diagonale, qui conserve les directions (chaque vecteur est multiplié par un coefficient, éventuellement différent) P est une matrice de passage. P D P ^{-1} est donc : [changement de base] -> application conservant les directions -> [changement de base inverse]. Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables, donc toutes

Méthode simple

• Calculer les valeurs de \lambda telles que \mathrm{\det} \left( A - \lambda I_{n} \right) = 0 (polynôme de degré d'un polynôme n)
  • Si on a n valeur propre d'une matrice distinctes, il suffit de les mettres comme coefficients d'une matrice diagonale pour diagonaliser A
  • [!] si on a certaines valeur propre d'une matrice de valeur propre d'une matrice#Multiplicité \geq 2
    • il faut vérrifier que la dimension du sous espace propre associé à ces valeurs prores est égale à leur multiplicité
    • sinon, on ne pourra pas créer la matrice de changement de base
• Chercher pour chaque valeur de \lambda les vecteurs u \neq 0_{E} tels que A \cdot u = \lambda u
• On trouve n vecteurs propres (n est le degré du polynôme associé à \det(A - \lambda I_{n}))
• Les vecteurs propres forment une base
• on note P la matrice de passage formée de ces vecteur propre en colonne
• Alors :
  • A = PDP^{-1} (où D est A diagonalisée)
  • D = P ^{-1} A P (permet de trouver la matrice diagonale)

[!example] Exemple On pose A = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&-1\\0&2&4\end{pmatrix} \det (A - 2 I_{3}) = 0 car alors une colonne est nulle Donc 2 est une valeur propre d'une application linéaire On cherche les vecteurs propres u \neq \vec{0} tels que A \cdot u = 2u Alors, on remarque que \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} est un vecteur propre associé à la valeur propre d'une application linéaire \lambda = 2