cours/dérivées successives.md

sr-due, sr-interval, sr-ease

sr-due	sr-interval	sr-ease
2023-06-15	239	312

up::dérivation #maths/analyse

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On utilise la notation pour les dérivation :

• f^{(0)}=f
• f^{(n)} = (f^{(n-1)})' cette dérivée existe

Propriétés

• Si f^{(n)} existe, alors toutes les dérivées d'ordre inférieur existent
• \left(f^{(p)}\right)^{(q)} = f^{(p+q)}

Ordre

Dans f^{(n)}, on appelle ordre de dérivation la valeur de n

Exemple : f^{(5)} est une dérivée d'ordre 5

Théorème

Si f et g sont n fois dérivables avec n\in\mathbb N^*

• (f+g) est n fois dérivable
• (f+g)^{(n)} = f^{(n)}+g^{(n)}
• \forall k\in\mathbb R, k\times f\text{ est dérivable}
• \forall k\in\mathbb R, (k\times f)^{(n)} = k\times f^{(n)}
• Si g ne s'annule pas, \frac{f}{g} est n fois dérivable

Formule de Leibniz

\displaystyle(f\times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)} \right)

Exemple : h(x) = x^2 \times e^{3x}, \mathscr D_f = \mathbb R

On pose f(x) = x^2 et g(x) = e^{3x}

• f^{(0)}=x^2

• f^{(1)}=2x

• f^{(2)} = 2

• \vdots

• f^{(n)}(x) = 0 pour n\geq 3

• g^{(0)} = e^{3x}

• g^{(1)}=3e^{3x}

• g^{(2)}=9e^{3x}

• \vdots

• g^{(n)}=3^n \cdot e^{3x}

Donc: $$\begin{align} h^{(4)}(x) &= \sum_{k=0}^4 \left( \binom4k \cdot f^{(k)}(x) \cdot g^{(4-k)}(x) \right)\[2ex] &= x^2 \cdot 81e^{3x} + 4 \cdot 2x \cdot 27e^{3x} + 6 \cdot 2 \cdot 9e^{3x} + 0\[1ex] &= 27e^{3x}\left( 3x^2 + 8x + 4 \right) \end{align}$$