cours/changement de base.md

up:: base d'un espace vectoriel #maths/algèbre

---

Soient E et F des $\mathbf{K}$-espace vectoriel

• Soient B_0 et B'_{0} des bases de E
• Soient B_1 et B'_{1} des bases de F Soit f une application linéaire de E \to F
• Soit A la matrice de f dans B_0 vers B_1
• Soit B la matrice de f dans B'_{0} vers B'_{1} Soient P et Q des matrices de changement de base
• P change de B_0 vers B'_{0} (elle transforme un vecteur de B'_{0} en un vecteur de B_0)
• Q change de B_{1} vers B'_{1} Pour tout vecteur X \in E, avec Y = f(X) = AX avec X dans B_0 et Y dans B_1 Pour tout vecteur X' \in F avec Y' = f(X') = BX' avec X' dans B'_{0} et Y' dans B'_{1}

!changement de base 2022-11-04 15.41.02.excalidraw

Matrice de passage

Une matrice de changement de base (ou matrice de passage) est la matrice P formée des vecteurs de la base d'arrivée en colonne. Alors, P^{-1} correspond à l'application linéaire qui passe d'un vecteur dans la base de départ à un vecteur dans la base d'arrivée.

[!example] Exemple Changement de la base B = \{ (0, 1); (1, 0) \} vers B' = \{ (\pi; \phi); (42; 73) \} La matrice de passage P de B_0 vers B_1 est : P = \begin{pmatrix} \pi & 42\\ \phi & 73\end{pmatrix}, c'est-à-dire les vecteurs de B' en colonne Alors, soit X un vecteur exprimé dans B, et soit X' le même vecteur exprimé dans B', on a : X = PX' ou bien X' = P^{-1}X

• [!] le sens est inversé

Changement de base d'une application linéaire

Soit f une application linéaire f a pour matrice A dans la base B_0 vers B_1 f a pour matrice B dans la base B'_{0} vers B'_{1}

On cherche a faire un changement de base de l'application, c'est-à-dire exprimer A en fonction de B ou inversement.

On voit ci-dessous qu'appliquer A correspond à appliquer P ^{-1}, puis B, puis Q

[!definition]- Démonstration On a les égalités suivantes

• Y = AX
• Y = QY'
• X = PX' Alors : $$\begin{align} Y = AX &\iff Y = APX' && \text{car } X = PX'\ &\iff QY' = APX' && \text{car } Y = QY' \ &\iff QBX' = APX' && \text{car } Y' = BX' \text{ (par définition)} \ &\iff QB = AP && \text{car c'est vrai pour tout } X' \ &\iff A = QBP ^{-1} \ &\iff B = Q ^{-1} A P \end{align}$$

[!idea] Cas d'un endomorphisme Si f est un endomorphisme, c'est-à-dire que E = F (f est sur E \to E) Alors, on a Q = P. Le changement de base est donc simplififié : A = P B P ^{-1} et B = P ^{-1} A P

• [i] Mnémo : ancien passage nouveau (puis passage inverse)

!changement de base 2022-11-04 15.41.02.excalidraw