cours/structure de topologie.md

aliases, up, tags

aliases	up	tags
topologie	structure algébrique	#s/maths/topologie

[!definition] structure de topologie On appelle topologie sur X un ensemble \mathcal{O} \subseteq \mathcal{P}(X) de parties de X qui seront les ouverts, tel que :

• \emptyset \in \mathcal{O}
• X \in \mathcal{O}
• \mathcal{O} est stable par réunion quelconque
• \mathcal{O} est stable par intersection finie ^definition

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Propriétés

Exemples

• topologie grossière

• topologie discrète

• topologie de Zariski

• topologie sur les fonctions \mathscr{C}^{\infty} à support d'une fonction espace métrique compact

[!example] Exemple Soit X = \{ a, b, c \} faisons la liste de toutes les topologies possibles sur X :

• \{ \emptyset, X \}
• en ajoutant un couple :
  • \{ \emptyset, \{ a, b \}, X \}
  • \{ \emptyset, \{ a, c \}, X \}
  • \{ \emptyset, \{ b, c \}, X \}
• en ajoutant deux couples :
  • \{ \emptyset, \{ a, b \}, \{ a, c \}, X, \{ a \} \}
  • \vdots
• en ajoutant un singleton :
  • \{ \emptyset, \{ a \}, X \}
  • \{ \emptyset, \{ b \}, X \}
  • \{ \emptyset, \{ c \}, X \}
• en ajoutant deux singletons :
  • \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, X, \{ a, b \} \}
• en ajoutant un singleton et une paire :
  • \{ \emptyset, \{ a \}, \{ a, b \}, X \}
  • \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b, c \}, X \}
• en ajoutant un singleton et deux paires :
  • \{ \emptyset, \{ a \}, \{ a, c \}, \{ b, c \}, X, \{ c \} \}