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structure de topologie	s/maths/topologie	espaces topologiques

[!definition] espace topologique Un espace topologique est un ensemble muni d'une structure de topologie !structure de topologie#^definition ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Un sous-ensemble U d'un espace topologique est un ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.

[!démonstration]- Démonstration Dans un espace topologique X

• \implies Soit U ouvert \forall x \in U,\quad x \in \underbracket{U}_{\tiny\text{ouvert}} \subseteq U Donc U est voisinage de chacun de ses points
• \impliedby Soit V un sous ensemble de X qui est voisinage de chacun de ses points. \forall x \in V,\quad \exists U_{x} \text{ ouvert},\quad x \in U_{x} \subseteq V \displaystyle \bigcup _{x \in V}U_{x} \subseteq et \displaystyle V = \bigcup _{x \in V} \{ x \} \subseteq \bigcup _{x \in V}U_{x} D'où V = \underbrace{\bigcup _{x \in V} U_{x}}_{\small\substack{\text{union d'ouverts}\\\text{donc ouvert}}}

Exemples