Notations

On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
On pourra noter ,12,23,11, : les virgules précisent le parsing
L \longrightarrow L' signifie que L est dérivée en L' par désintégration audioactive
- On note aussi L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots pour L \longrightarrow L' et L' \longrightarrow L'' et L'' \longrightarrow \cdots
L_{n} est le n^{\text{ème}} descendant de L (le résultat de n dérivations de L)
- évidemment : L_0 = L et L_{n} \to L_{n+1}
- i on peut noter L \overset{n}{\to} L_{n}
On utilise [ et ] pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)
- = [11222 correspond à 11 222\cdots
On utilise les puissances pour la répétition
- = 3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111
- i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, 11111 ne sera jamais noté comme 1^{2}1^{3})
X désigne un chiffre arbitraire (non nul)
- = X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} correspond à [a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}
- = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0} correspond à a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]
\neq n désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que n
- = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0} signifie a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} suivi d'au moins un autre chiffre
- = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0} signifie que ce dernier chiffre n'est pas un 2
= n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\longrightarrow} n^{\neq n}] \to n'

Propriétés

[!proposition]+ conséquence du regroupement Pour une étape : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots Il est évident que : a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots

dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands \alpha, \beta, \gamma, \delta\dots possibles ^regroupement

Atomes

[!definition] Découpage Parfois, une chaîne LR est telle que les descendants de L et de R n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que : \forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n} On dit alors que LR se découpe en L . R

i on note alors L \cdot R

i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de L_{n} est toujours différent du premier chiffre de R_{n} (ou bien quand l'une des deux est vide)

def On appelle trivial un découpage du type [\;]\cdot L ou L\cdot [\;] ^def-decoupage

[!definition] Atome Les atomes (ou éléments) sont les chaînes qui ne possèdent pas de découpage non trivial.

source:: (John Horton Conway, 1987) ^def-atome

i toute chaîne est composée d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne comprends lesdits éléments.
- source:: (John Horton Conway, 1987)

Théorèmes

[!proposition]+ Théorème du jour 1 – p.185 Les morceaux de type :

,ax,bx,

x^{\geq 4}

x^{3}y^{3}

n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.

[!démonstration]- Démonstration

,ax,bx,

! ce premier morceau à un parsing donné La première possibilité doit venir de x^{a}x^{b} qui aurait du être écrit x^{a+b} dans la chaîne du jour précédent.

x^{\geq 4} soit x^{n} pour n \geq 4 On peut parser cette expression de plusieurs manières.

si n est pair : ,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}}, et au minimum ,xx,xx, pour n = 4. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces x : x^{2\times x} n'est pas dérivé en xx,xx mais en (2\times x)x L'autre parsing possible est x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x ce qui donne, à nouveau, le même résultat : ,x,x^{k},x, n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en (k+2)x

si n est impair : (n\geq 5) A nouveau, ni ,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x, ni [x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}}, ne sont des dérivations correctes

x^{3}y^{3} Encore une fois, considérons les parsing possibles :

,xx,xy,yy, ne peut pas exister, puisque ,xy,yy, aurait du être dérivé en un ,ky,

[x,xx,yy,y] ne peut pas exister puisque \alpha x,x x aurait du être dérivé en (\alpha+x) x Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation. ^thm-jour-1

[!proposition]+ Théorème du jour 2 – p.185

Aucun chiffre \geq 4 ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).

Un morceau 3 X 3 (en particulier 3^{3}) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.

[!démonstration]- Démonstration

Un chiffre \geq 4 devrait venir d'un x^{\geq 4}, on on sait par le désintégration audioactive#^thm-jour-1 qu'un tel x^{\geq 4} ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre \geq 4 ne peut pas apparaître après le jour 2

i un chiffre k>1 quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient ,x^{k}, puisque ,x^{k}, \to ,kx,

Un morceau 3X 3 ne peut pas être parsé comme 3,x 3, y puisque l'on aurait alors ,\alpha 3, x 3, y mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner ,\alpha 3,x 3,) On doit donc nécessairement parser 3X 3 comme ,3x,3y,. Pour obtenir ,3x,3y,, on doit avoir obtenu x^{3}y^{3} au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le désintégration audioactive#^thm-jour-1). Cela montre bien que 3X 3 est impossible dès le jour 2. ^thm-jour-2

[!proposition]+ Théorème du début – p.185 Soit R un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus. Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :

\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots

\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow

\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots

\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots

[!démonstration] Démonstration Explorons les valeurs possibles de R en supposant que R est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par 2^{2}. Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes désintégration audioactive#^thm-jour-1 et désintégration audioactive#^thm-jour-2) :

Si R commence par 1

Si R commence par 1^{1}

c [1^{1}] impossible car ne peut pas être dérivé

p [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X} car X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X

down [1^{1}X^{2} se divise en plusieurs cas, le seul possible étant [1^{1}2^{2}

right [1^{1}1^{2} = [1^{3} que l'on traitera plus tard

p [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}(\neq X)^{X}

c [1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} = [3X,XX, impossible car de la forme ,aX,bX, (désintégration audioactive#^thm-jour-1)

c [1^{1}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [(\geq 4)^{1}X^{\geq 4} impossible au désintégration audioactive#^thm-jour-1

c [1^{1}X^{3} = [1X,XX, impossible car de la forme ,aX,bX, (désintégration audioactive#^thm-jour-1)

c [1^{1}X^{n\geq 4} impossible puisque X^{n\geq 4} est impossible dès le désintégration audioactive#^thm-jour-1

Si R commence par 1^{2} on R= [1^{2}2^{\leq 3}

right [1^{2}1^{1} = [1^{3}

c [1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4} impossible

p [1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}

p [1^{2}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}

p [1^{2}2^{3} \longleftarrow [1^{1}2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}n^{X}

c [1^{2}2^{\geq 4} impossible

c [1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3} impossible car ,1X,XX, est impossible

c [1^{2}(X\geq 4) impossible par le désintégration audioactive#^thm-jour-2

Si R commence par 1^{3} on a R = [1^{3}X^{1} \text{ ou } [1^{3}2^{2}

p [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}

p [1^{3}2^{2}

[1^{3}1^{2} est évidemment exclus

p [1^{3}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{X}

c [1^{3}2^{3} = [11,12,22 impossible

c [1^{3}2^{\geq 4} impossible

c [1^{3}X^{3}=[11,1X,XX impossible

Si R commence par 2 alors R= [2^{1}X^{\leq 2}

down [2^{1}X considérons les différentes possibilités :

p [2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}

p [2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}

c [2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots impossible

c [2^{2} impossible par supposition car commencerait par [22

p [2^{3} \longleftarrow [2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{2}X^{X}

c [2^{\geq 4} évidemment

Si R commence par 3 alors R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}

p [3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}

p [3^{1}(\leq 2)^{2} puisque :

p [3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}

p [3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2} possible si X \neq 2

c [3^{1}(\geq 3)^{2} puisque:

c [3^{1}3^{2}=[3^{3} impossible

c [3^{1}(\geq 4)^{2} =[34,4\cdots impossible car 4 ne peut pas apparaître

c [3^{1}X^{3} = [3X,XX impossible (désintégration audioactive#^thm-jour-1)

p [3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}

c [3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots impossible

p [3^{2}(\leq 2)^{2} puisque :

p [3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}

p [3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}

c [3^{2} (\geq 3)^{2} puisque :

c [3^{2}3^{2} = [3^{4} impossible

c [3^{2}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 4} impossible

p [3^{2}(\leq 2)^{3} puisque :

p [3^{2}1^{3} \longleftarrow [3^{3}1^{1}X^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}

p [3^{2}2^{3} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2}n^{X}

c [3^{2}(\geq 3)^{3} puisque :

c [3^{2}3^{3} = [3^{5}

c [3^{2}(\geq 4)^{3} \longleftarrow [3^{3}(\geq 4)^{(\geq 4)}X^{(\geq 4)} impossible

c [3^{3} impossible (désintégration audioactive#^thm-jour-2)

down Si R commence par un n > 3

c [(\geq 4)^{1} \leftarrow [X^{\geq 4} impossible

c [(\geq 4)^{2} \leftarrow [n^{n} pour n \geq 4 : impossible

c de même pour tous les [(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n} avec n \geq 4

L'ensemble des possibilités se résume donc à :

[1^{1}] = [1^{1}X^{0}

[1^{1}X^{1}

[1^{1}2^{2}

[1^{2}2^{\leq 3}

[1^{3}X^{1} ou, plus généralement [1^{3}

[1^{3}2^{2} ou, plus généralement [1^{3}

[2^{1}X^{\leq 2}

[2^{3}

[3^{1}X^{1} que l'on restreint à [3^{1}(\neq 1)^{1} pour éviter la superposition avec un autre cas

[3^{1}(\leq 2)^{2}

[3^{2}(\leq 2)^{\leq 3} qui est l'une de ces deux possibilités :

[3^{2}1^{\leq 3}

[3^{2}2^{\leq 3}

[n^{1}

De là, on observe que toutes les possibilités convergent vers l'un des cycles donnés : !demo_théorème_du_début.excalidraw

Par ailleurs, si R commence par [22 :

si R = [22] la preuve est trivialle

sinon on considère un R' tel que R = [22 \cdot R', et on utilise l'argument précédent pour montrer que R' arrive sur le cycle [1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}

On peut modifier cette liste :

en assimilant [3^{1}X^{1} et [3^{1}(\leq 2)^{2} aux deux cas [3^{1}X^{3}, [3^{1}X^{\leq 2}

en assimilant [3^{2}(\leq 2)^{\leq 3} aux cas [3^{2}X^{3}, [3^{2}X^{\leq 2}

en assimilant [1^{3}2^{2} et [1^{3}X^{1} au seul cas [1^{3}

en assimilant [1^{2}2^{\leq 3} à [1^{2}X^{1} (qui est déjà listé) et [1^{2}X^{\neq 1}

en séparant [2^{1} X^{\leq 2} en [2^{1}X^{2} et [2^{1}X^{\neq 2}

en ajoutant [1^{1}3^{2} Cela nous donne la liste suivante :

[1^{1}] = [1^{1}X^{0}

[1^{1}X^{1}

[1^{2}X^{1}

[1^{1}2^{2}

[1^{1}3^{2}

[1^{2}X^{\neq 1}

[1^{3}

[2^{1}X^{2}

[2^{1}X^{\neq 2}

[2^{3}

[3^{1}X^{3}

[3^{1}X^{\leq 2}

[3^{2}X^{3}

[3^{2}X^{\leq 2}

[n^{1}

Cela nous permet d'atteindre le schéma original de Conway : !schéma original de Conway p.186 ^theoreme-debut

[!proposition]+ théorème du découpage Une chaîne de \geq 2 jour LR se découpe en L \cdot R seulement dans ces cas :

L R

n] [m

2] [1^1X^1 ou [1^{3} ou [3^{1}X^{\neq 3} ou [n^{1}

\neq 2] [2^{2} 1^{1}X^{1} ou [2^{2}1^{3} ou [2^{2}3^{1}X\neq 3 ou [2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}

avec n \geq 4 et m \leq 3

ou bien quand l'un des deux est vide (L = [\;\;] ou R = [\;\;])

[!démonstration]- Démonstration Cela suit directement du désintégration audioactive#^theoreme-debut appliqué à R, et du fait que le dernier chiffre de L est constant ^theoreme-decoupage

L	R
`n]`	`[m`
`2]`	`[1^1X^1` ou `[1^{3}` ou `[3^{1}X^{\neq 3}` ou `[n^{1}`
`\neq 2]`	`[2^{2} 1^{1}X^{1}` ou `[2^{2}1^{3}` ou `[2^{2}3^{1}X\neq 3` ou `[2^{2}n^{(0 \text{ ou } 1)}`
avec `n \geq 4` et `m \leq 3`
ou bien quand l'un des deux est vide (`L = [\;\;]` ou `R = [\;\;]`)

Tableau des éléments

!(John Horton Conway, 1987) !(John Horton Conway, 1987)

= \ce{He -> Hf.Pa.H.Ca.Li}

17 KiB Raw Blame History Unescape Escape

Notations

Propriétés

Atomes

Théorèmes

Tableau des éléments

Exemples

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Raw Blame History