cours/schéma mu.md

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fonction partielle	s/maths/logique s/informatique	schéma µ schéma µ non borné

[!definition] schéma mu Soit f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}, alors la fonction partielle : g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0) est définie de la façon suivante :

• S'il existe au moins un entier z tel que f(\overline{x}, z) soit nul et que, pour tout z' < z, f(\overline{x}, z') soit définie, alors g(\overline{x}) est le plus petit de ces entiers z
• Dans le as contraire, g(\overline{x}) n'est pas définie.

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Pour les ensembles: Si A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}, alors : \mu y((\overline{x}, y) \in A) = \mu y(1 \dot{-} \chi _{A}(\overline{x}, y) = 0) (voir fonction récursive primitive#^soustraction-positive) ^definition

[!definition] schéma mu – Définition courte Soit f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1} Le schéma \mu permet de définir g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0) Cette fonction g est la fonction qui donne le plus petit z\in \mathbb{N} tel que f(\overline{x}, z)=0 et tel que tous les f(\overline{x}, z) précédents sont définis.

[!definition]+ schéma mu – Définition par un algorithme Soit f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1} une fonction La fonction g(\overline{x}) = \mu y (f(\overline{x}, y) = 0) correspond à la fonction définie par cet algorithme :

def g(x₁, x₂, ..., xₚ):
    for z in ℕ
        if f(x₁, x₂, ..., xₚ, z) n'est pas définie:
            return non définie
        elif f(x₁, x₂, ..., xₚ, z) = 0:
            return z

^definition-algorithme

[!idea] Intuition L'idée est de préserver la propriété de posséder un algorithme de calcul. Pour calculer \mu y (f(\overline{x}, y)=0), on cherchera itérativement une valeur de y en commençant par 0. Le problème est que, si f(\overline{x}, y) n'est pas définie pour l'une de ces valeurs, notre algorithme ne pourrait pas la calculer. C'est pour cela que, si une des valeurs n'est pas dans le fonction partielle#^definition de f, on considèrera que la recherche s'arrête ici.

Propriétés

Exemples