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nombre premier	s/maths	fonction π

[!definition] fonction pi La fonction \pi est la fonction qui à un entier n associe le (n+1)^{\text{ème}} nombre premier \begin{array}{rcl} \pi(0) &=& 2\\ \pi(1) &=& 3\\ \pi(2) &=& 5\\ \pi(3) &=& 7 \\&\vdots& \end{array} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ la fonction \pi est primitive récursive La fonction \pi est fonction récursive primitive

[!démonstration]- Démonstration On peut définir \pi par récurrence et par schéma mu borné comme suit : \pi(0) = 2 \pi(n+1) = \mu p \leq (n+1)! \quad \left(\mathrm{sg}(p \dot{-}\pi( n)) \cdot \left( 1\dot{-} \mathrm{sg} \left( \sum\limits_{d=1}^{d=p}d|p \right) \right) \right) ^recursive-primitive

Exemples