cours/tribu borélienne.md

up:: tribu #maths/algèbre

[!definition] tribu borélienne Soit E un ensemble Soit \mathcal{O} l'ensemble des ensemble ouvert de E La tribu borélienne sur E est la tribu engendrée par un ensemble par les ouverts de E, soit : \mathcal{B}(E) = \sigma(\mathcal{O}) ^definition

Propriétés

[!info] Ensembles qui engendrent \mathcal{B}(\mathcal{\mathbb{R}}) \mathcal{B}(\mathbb{R}) est engendrée (au choix) par :

1. L'ensemble des ensemble ouvert bornés de \mathbb{R} (qu'on notera \mathcal{O}_{1})
2. L'ensemble des intervalles ensemble ouvert bornés à extrémités rationnelles (qu'on notera \mathcal{O}_{2})

[!démonstration] Démonstration Comme \mathcal{O}_{2} \subset \mathcal{O}_{1} \subset \mathcal{O}, et comme \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \sigma(\mathcal{O}), alors il suffit de montrer que \sigma(\mathcal{O}_{2}) = \sigma(\mathcal{O}) pour avoir aussi \sigma(\mathcal{O}_{1}) = \sigma(\mathcal{O}). démonstration la tribu borélienne est engendrée par l'ensemble des ouverts bornés à extrémités rationnelles

3. L'ensemble des intervalles ] -\infty; a[ avec a \in \mathbb{R} démonstration la tribu borélienne est engendrée par l'ensemble des demi droites
4. L'ensemble des intervalles ] -\infty; a] avec a \in \mathbb{R}