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up:: fonction exponentielle title:: "$\displaystyle \lim\limits_{ n \to +\infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e$" #maths/analyse
$$ \begin{align} \lim\limits_{ n \to +\infty } \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^{n} &= \lim\limits_{ n \to +oo } e^{ n \ln \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \ &= \lim\limits_{ n \to +\infty } e^{ n \times \frac{1}{n} } && \text{par équivalence : } \ln\left( 1+\tfrac{1}{n} \right) \sim \tfrac{1}{n} \ &&& \text{(développement limité)} \ &= e \end{align} $$
En général, on a même : \displaystyle \lim\limits_{ n \to +\infty } \left( 1+\frac{x}{n} \right)^{n} = e^{ x } :
$$ \begin{align} \lim\limits_{ n \to +\infty } \left( 1+\frac{x}{n} \right) ^{n} &= \lim\limits_{ n \to +oo } e^{ n \ln \left( 1+\frac{x}{n} \right) } \ &= \lim\limits_{ n \to +\infty } e^{ n \times \frac{x}{n} } && \text{par équivalence : } \ln\left( 1+\tfrac{x}{n} \right) \sim \tfrac{x}{n} \ &&& \text{(développement limité)} \ &= e^{x} \end{align} $$