Notations

On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
On pourra noter ,12,23,11, : les virgules précisent le parsing
L \longrightarrow L' signifie que L est dérivée en L' par désintégration audioactive
- On note aussi L \longrightarrow L' \longrightarrow L'' \longrightarrow \cdots pour L \longrightarrow L' et L' \longrightarrow L'' et L'' \longrightarrow \cdots
L_{n} est le n^{\text{ème}} descendant de L (le résultat de n dérivations de L)
- évidemment : L_0 = L et L_{n} \to L_{n+1}
- i on peut noter L \overset{n}{\to} L_{n}
On utilise [ et ] pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)
- = [11222 correspond à 11 222\cdots
On utilise les puissances pour la répétition
- = 3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111
- i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, 11111 ne sera jamais noté comme 1^{2}1^{3})
X désigne un chiffre arbitraire (non nul)
- = X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} correspond à [a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}
- = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0} correspond à a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]
\neq n désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que n
- = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0} signifie a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} suivi d'au moins un autre chiffre
- = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0} signifie que ce dernier chiffre n'est pas un 2
= n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\longrightarrow} n^{\neq n}] \to n'

Propriétés

[!proposition]+ conséquence du regroupement Pour une étape : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots Il est évident que : a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots

dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands \alpha, \beta, \gamma, \delta\dots possibles ^regroupement

Atomes

[!definition] Découpage Parfois, une chaîne LR est telle que les descendants de L et de R n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que : \forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n} On dit alors que LR se découpe en L . R

i on note alors L \cdot R

i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de L_{n} est toujours différent du premier chiffre de R_{n} (ou bien quand l'une des deux est vide)

def On appelle trivial un découpage du type [\;]\cdot L ou L\cdot [\;]

[!definition] Atome Les atomes (ou éléments) sont les chaînes qui ne possèdent pas de découpage non trivial.

source:: (John Horton Conway, 1987)

i toute chaîne est composée d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne comprends lesdits éléments.
- source:: (John Horton Conway, 1987)

Théorèmes

[!proposition]+ Théorème du jour 1 – p.185 Les morceaux de type :

,ax,bx,

x^{\geq 4}

x^{3}y^{3}

n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.

[!démonstration]- Démonstration

,ax,bx,

! ce premier morceau à un parsing donné La première possibilité doit venir de x^{a}x^{b} qui aurait du être écrit x^{a+b} dans la chaîne du jour précédent.

x^{\geq 4} soit x^{n} pour n \geq 4 On peut parser cette expression de plusieurs manières.

si n est pair : ,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}}, et au minimum ,xx,xx, pour n = 4. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces x : x^{2\times x} n'est pas dérivé en xx,xx mais en (2\times x)x L'autre parsing possible est x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x ce qui donne, à nouveau, le même résultat : ,x,x^{k},x, n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en (k+2)x

si n est impair : (n\geq 5) A nouveau, ni ,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x, ni [x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}}, ne sont des dérivations correctes

x^{3}y^{3} Encore une fois, considérons les parsing possibles :

,xx,xy,yy, ne peut pas exister, puisque ,xy,yy, aurait du être dérivé en un ,ky,

[x,xx,yy,y] ne peut pas exister puisque \alpha x,x x aurait du être dérivé en (\alpha+x) x Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation. ^thm-jour-1

[!proposition]+ Théorème du jour 2 – p.185

Aucun chiffre \geq 4 ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite (sauf conservation d'un chiffre qui était déjà présent).

Un morceau 3 X 3 (en particulier 3^{3}) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.

[!démonstration]- Démonstration

Un chiffre \geq 4 devrait venir d'un x^{\geq 4}, on on sait par le désintégration audioactive#^thm-jour-1 qu'un tel x^{\geq 4} ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre \geq 4 ne peut pas apparaître après le jour 2

i un chiffre k>1 quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient ,x^{k}, puisque ,x^{k}, \to ,kx,

Un morceau 3X 3 ne peut pas être parsé comme 3,x 3, y puisque l'on aurait alors ,\alpha 3, x 3, y mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner ,\alpha 3,x 3,) On doit donc nécessairement parser 3X 3 comme ,3x,3y,. Pour obtenir ,3x,3y,, on doit avoir obtenu x^{3}y^{3} au jour précédent, ce qui est impossible dès le jour 1 (par le désintégration audioactive#^thm-jour-1). Cela montre bien que 3X 3 est impossible dès le jour 2. ^thm-jour-2

[!proposition]+ Théorème du début – p.185 Soit R un morceau d'une chaîne âgée de 2 jours ou plus. Le début de ses descendants finira toujours par se constituer en l'un des cycles suivants :

\overparen{[ \; ]} \longrightarrow [\;] \longrightarrow [\;] \longrightarrow \cdots

\overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow

\overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq_3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots

\overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots

[!démonstration] Démonstration Explorons les valeurs possibles de R en supposant que R est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par 2^{2}. Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes désintégration audioactive#^thm-jour-1 et désintégration audioactive#^thm-jour-2) :

Si R commence par 1

Si R commence par 1^{1}

c [1^{1}] impossible car ne peut pas être dérivé

p [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}(n \neq X) \leftarrow [(n \neq X)^{X}

down [1^{1}X^{2} se divise en plusieurs cas, le seul possible étant [1^{1}2^{2}

right [1^{1}1^{2} = [1^{3} que l'on traitera plus tard

p [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}n^{X}

c [1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} impossible car de la forme ,ax,bx, (désintégration audioactive#^thm-jour-1)

c [1^{1}(n\geq 4)^{2} \longleftarrow [n^{1}X^{n\geq 4} impossible au désintégration audioactive#^thm-jour-1

c [1^{1}X^{3} impossible car de la forme ,aX,bX, (désintégration audioactive#^thm-jour-1)

c [1^{1}X^{n\geq 4} impossible puisque X^{n\geq 4} est impossible dès le désintégration audioactive#^thm-jour-1

Si R commence par 1^{2}

right [1^{2}1^{1} = [1^{3}

c [1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4} impossible

p [1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}

p [1^{2}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}

p [1^{2}2^{3} \longleftarrow [1^{1}2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2}n^{X}

c [1^{2}2^{\geq 4} impossible

c [1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3} impossible car ,1X,XX, est impossible

c [1^{2}(X\geq 4) impossible par le désintégration audioactive#^thm-jour-2

p [1^{3}X \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}

Si R commence par 2

right [2^{1}X considérons les différentes possibilités :

p [2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}

p [2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}

c [2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots impossible

c [2^{\geq 2} est impossible par supposition

Si R commence par 3

p [3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}

right [3^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{3} pas toujours possible :

p [3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}

[]

!p.186

Tableau des éléments

!(John Horton Conway, 1987) !(John Horton Conway, 1987)

= \ce{He -> Hf.Pa.H.Ca.Li}

11 KiB Raw Blame History Unescape Escape

Notations

Propriétés

Atomes

Théorèmes

Tableau des éléments

Exemples

11 KiB

Raw Blame History