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structure algébrique	#s/maths/algèbre	anneaux

[!definition] Soit un ensemble A et deux lois + et \times (A, +, \times) est un anneau ssi :

• (A, +) est un groupe abélien
  • + est associativité, commutativité
  • il existe un élément neutre 0_{A} pour +
  • tous les éléments sont éléments inversibles par +
• (A, \times) est un monoïde
  • \times est associativité
  • il y a un élément neutre 1_{A} pour \times
• \times est distributivité par rapport à + (à droite et à gauche)
  • \forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b) ^definition

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Propriétés

[!proposition]+ 0 est un élément absorbant Soit (A, +, \times) un anneau Soit 0_{A} l'élement neutre pour + 0_{A} est absorbant, c'est-à-dire que : \forall a \in A,\quad a0_{A} = 0_{A}

[!démonstration]- Démonstration a0_{A} = a(0_{A} + 0_{A}) = a0_{A} + a 0_{A} d'où suite que a 0_{A} = 0_{A}

[!proposition]+ Distributivité généralisée Soient m, n \in \mathbb{N}^{*} Soient (a_1, \dots, a_{n}) \in A^{n} et (b_1, \dots, b_{n}) \in A^{n} On a : \left( \sum\limits_{i=1}^{m} a_{i}\right) \times \left( \sum\limits_{j=1}^{n}b_{j} \right) = \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}(a_{i}b_{j})

[!démonstration]- Démonstration La démonstration se fait par double récurrence sur m et sur n

[!proposition]+ binôme de Newton Soient a, b \in A et n \in \mathbb{N} on a : (a+b)^{n} = \sum\limits_{i= 0}^{n} \binom{n}{i}a^{i}b^{n-i}

[!démonstration]- Démonstration (a+b)^{n} = (a+b) \cdot (a+b)^{n-1}

[!proposition]+ Si a, b \in A et a \times b = b \times a et n \in \mathbb{N}^{*} alors : a^{n} - b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}

[!démonstration]- Démonstration Réécrivons le terme de droite de manière développée : \begin{align} (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k} &= (a-b)(a^{0}b^{n-1} + a^{1}b^{n-2} + \cdots + a^{n-2}b^{1}+a^{n-1}b^{0}) \\&= \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} + \bcancel{\color{chartreuse}a^{2}b^{n-2}}+\bcancel{\color{#ffaaff} a^{3}b^{n-3}} + \cdots + \bcancel{\color{orange} a^{n-1}b^{1}} +a^{n}b^{0} \\ &\quad \,- a^{0}b^{n} - \bcancel{\color{deepskyblue}a^{1}b^{n-1}} \bcancel{\color{chartreuse} - a^{2}b^{n-2}}- \cdots \bcancel{\color{#aaaaff}-a^{n-2}b^{2}} \bcancel{\color{orange}-a^{n-1}b^{1}} \\&= a^{n}b^{0} - a^{0}b^{n} \\&= \boxed{a^{n} - b^{n}} \end{align}

Exemples