cours/Mathématiques pour non spécialistes – suite look-and-say.md

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Définition

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Exemples

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Exemple 1

• 1 \longrightarrow \text{un } 1
• 11 \longrightarrow \text{deux }1
• 21 \longrightarrow \text{un }2,\quad \text{un }1
• 1211 \longrightarrow \text{un }1,\quad \text{un }2,\quad \text{deux }2
• \underparen{111\!}\,221 \longrightarrow \text{trois }1,\quad \text{deux }2,\quad \text{un} 1
• 312211
• 13112221
• 1113213211

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Exemple 2

22 \longrightarrow \text{deux} 2

22

22

\vdots

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Notations

• 12 \longrightarrow 1112
• ,11,12,
• [11 et 12]
• 1^{3}2^{1}
  • 1^{\geq 2}(\neq 1)^{3}
  • [1^{3}X^{1 \text{ ou } 2}

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Propriétés

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Première propriété évidente

Pour une étape : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots

Il est évident que : a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots

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Théorème du jour 1

Les morceaux de type :

• ,ax,bx, devrait être dérivé en (a+b)x
• x^{\geq 4} =\begin{cases}x,xx,x\cdots \\ ,xx,xx, \cdots\end{cases} impossible
• x^{3}y^{3} =\begin{cases},xx,xy,yy, \text{ un cas de } ,ay,by, \\ x,xx,xy,y \text{ un cas de } ,ax,bx,\end{cases}

n'apparaîssent plus après 1 jour.

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Théorème du jour 2

Après 2 jours, on ne peut plus avoir :

• apparition d'un \geq 4 car x^4 impossible (thm. J1)
• 3X3 =\begin{cases},3X,3y \longleftarrow X^3y^3 {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)} \\ 3,X3, {\,\color{red}\Large \times } \text{ (thm. J1)}\end{cases}

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Théorème du début

Le début arrivera toujours sur l'un de ces cycles :

• \overparen{[ \;\; ]} \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow [\;\;] \longrightarrow \cdots
• \overparen{[2^{2}]} \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow [2^{2}] \longrightarrow
• \overparen{[1^{1}X^{1} \longrightarrow [1^{3} \longrightarrow [3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots
• \overparen{[2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow [2^{2}1^{3} \longrightarrow [2^{2}3^{1}X^{\neq 3}} \longrightarrow [2^{2}1^{1}X^{1} \longrightarrow \cdots

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Théorème du début — Exemple

• [37]
• [1317]
• [11131117]
• [{\color{#080}311}331 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3} pour X=3
• [{\color{#09b}13}2123 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}
• [{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}
• [{\color{#080}311}311 = [3^{1}1^{2} = \color{#080}[3^{1}X^{\neq 3}
• [{\color{#09b}13}21 = [1^{1}3^{1} = \color{#09b}[1^{1}X^{1}
• [{\color{#d80}111}312 = \color{#d80}[1^{3}
• \vdots

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Théorème du début — Démonstration

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