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convergence sur [a;+∞[ d'une intégrale absolument convergente

up:: intégrale absolument convergente title:: "démonstration que $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} |f(x)| , dx \text{ CV.} \implies \int_{a}^{+\infty} f(x) , dx \text{ CV.}$" #s/maths/analyse

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Théorème

!intégrale absolument convergente#^convergence-sur-a-infini

Démonstration

Soit f \in C^0_{pm}([a; +\infty[), telle que \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx est absolument convergente

On considère :

• f^{+}(t) = \max(0, f(t)) (partie positive de f)
• f^{-}(t) = \min(0, -f(t)) (partie négative de f) On a :
• f = f^{+} - f^{-}
• f^{+} \in C^0_{pm}([a; +\infty[)
• f^{-} \in C^0_{pm}([a; +\infty[) Or, on sait que :
• 0 \leq f^{+}(x) \leq |f|(x)
• 0 \leq f^{-}(x) \leq |f|(x) Donc, puisque l'intégrale de f est intégrale absolument convergente, l'intégrale de |f| est convergente. Alors, par convergence d'intégrales de fonctions comparées, on sait que les intégrales de f^{+} et f^{-} convergent.