cours/corps des entiers relatifs.md

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corps commutatif	s/maths	entiers relatifs corps ℤ ℤ

[!definition] corps des entiers relatifs \mathbb{Z} ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Division euclidienne soient a \in \mathbb{Z} et b \in \mathbb{N}^{*} Alors \exists ! (q, r) \in \mathbb{Z}^{2},\quad \begin{cases} a = bq + r\\ \begin{align} 0 \leq r & < b \\&\leq b-1 \end{align} \end{cases}

[!démonstration]- Démonstration – Existence b \neq 0 On pose q = \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor \in \mathbb{Z} et r = a - bq \in \mathbb{Z} Par définition de r on a q = bq+r \displaystyle \frac{a}{b} - 1 < \underbrace{\left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor}_{q} \leq \frac{a}{b} b > 0 donc : a - b < bq \leq a - a+ b > -bq \geq -a b > \underbrace{a - bq}_{r} \geq 0

[!démonstration]- Démonstration – Unicité Soient (q, r) et (q', r') deux couples qui conviennent Alors bq + r = a = bq' + r' donc b(q - q') = r' - r or 0 \leq r' < b et 0 \leq r < b donc -b < -r \leq 0 -b < r' -r <b -1 < q - q' < 1 ce qui implique que q - q' = 0 puisque l'on est dans \mathbb{Z} Donc q = q', et donc aussi r = r' Cela donne l'unicité

Exemples